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Momento de Inercia
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Gleichungen
Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:
| $ L = r p $ |
Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:
| $ L = I \omega $ |
Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):
| $ p = m_i v $ |
und
| $ v = r \omega $ |
ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:
| $ I = m_i r ^2$ |
(ID 3602)
Das Trägheitsmoment einer Stange, die sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verl uft, wird ermittelt, indem der K rper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
(ID 4432)
Das Tr gheitsmoment eines Quaders, der sich um eine Achse dreht, die durch sein Zentrum verl uft, wird ermittelt, indem der K rper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis f hrt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
(ID 4433)
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine zur Hauptachse parallele Achse ($\parallel$) dreht und die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
(ID 4434)
Das Tr gheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verl uft, wird ermittelt, indem der K rper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis f hrt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
.
(ID 4435)
Das Tr gheitsmoment einer Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr Zentrum verl uft, wird durch die Segmentierung des K rpers in kleine Volumeneinheiten und deren Addition gewonnen:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis f hrt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
(ID 4436)
Beispiele
Für eine Partikel mit der Masse die Punkt Messe ($m$), die sich in einem Abstand von der Radius ($r$) um eine Achse bewegt, kann die Beziehung durch den Vergleich von der Angular Momentum ($L$) hergestellt werden, wobei der Angular Momentum ($L$) in Abhängigkeit von der Massenträgheitsmoment ($I$) und der Moment ($p$) ausgedrückt wird. Das ergibt:
| $ I = m_i r ^2$ |
.
(ID 3602)
Der Massenträgheitsmoment an der CM einer dünnen Stange, senkrechte Achse ($I_{CM}$) wird in Abhängigkeit von die Körpermasse ($m$) und der Länge der Bar ($l$) ermittelt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
(ID 4432)
ERROR:5325 wird in Abhängigkeit von die Körpermasse ($m$), die Zylinder Höhe ($h$) und der Radius eines Zylinders ($r_c$) ermittelt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
(ID 4435)
Der Massenträgheitsmoment an der CM eines Zylinder, Achse parallel zur Zylinderachse ($I_{CM}$) wird in Abhängigkeit von die Körpermasse ($m$) und der Radius eines Zylinders ($r_c$) ermittelt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
(ID 4434)
Der Massenträgheitsmoment an der CM einer dünnen Stange, senkrechte Achse ($I_{CM}$) wird in Abhängigkeit von die Körpermasse ($m$), der Länge der Kante des geraden Quader ($a$) und die Breite der Kante des geraden Quader ($b$) ermittelt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
(ID 4433)
Der Massenträgheitsmoment an der CM einer Kugel ($I_{CM}$) wird in Abhängigkeit von die Körpermasse ($m$) und der Radio der Kugel ($r_e$) ermittelt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
(ID 4436)
Der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) kann berechnet werden, indem der Trägheitsmoment Massenzentrum ($I_{CM}$) verwendet und das Tr gheitsmoment von die Körpermasse ($m$) als Punktmasse bei die Entfernung Schwerpunkt und Achse ($d$) hinzugef gt wird:
| $ I = I_{CM} + m d ^2$ |
(ID 3688)
ID:(678, 0)