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Ecuación de Colisión

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Ecuación de Colisión

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Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$f_{in}$

f_in

Contribución a la función distribución que ingresan (gana)

$f_{out}$

f_out

Contribución a la función distribución que salen (pierde)

$f$

Función distribución de la teoría de transporte

$\sigma$

sigma

Sección eficaz de la colisión $(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}'_1,\vec{v}'_2)$

m^2

$t$

Tiempo

$\tau$

tau

Tiempo de relajamiento

$v$

Velocidad de la partícula que afecta la distribución

m/s

$v_1$

v_1

Velocidad partícula 1 que colisiona

m/s

$v_21$

v_21

Velocidad partícula 1 que resulta de la colisión

m/s

$v_2$

v_2

Velocidad partícula 2 que colisiona

m/s

$v_22$

v_22

Velocidad partícula 2 que resulta de la colisión

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t$

f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t

$f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$

f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|\vec{e}_ic-\vec{u}|^2/2kT}

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})

$\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)$

\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)

Ejemplos

C lculo de colisiones

En caso de colisiones se tiene que dos part culas con velocidad \vec{v}_1 y \vec{v}_2 colisionan pasando a tener las velocidades \vec{v}_1' y \vec{v}_2' respectivamente. La probabilidad de que las velocidades tras la colisi n sean \vec{v}_1' y \vec{v}_2' se pueden calcular de la secci n eficaz \sigma seg n\\n\\n

$\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2')$

\\n\\nComo la probabilidad de que las part culas que entran a la colisi n sean \vec{v}_1 y \vec{v}_2 se calculan con la funci n distribuci n\\n\\n

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)$

Como el desplazamiento ocurre en funci n de la velocidad relativa |\vec{v}_2-\vec{v}_1| se tiene finalmente que la variaci n de las part culas son

equation

Colisiones que abandonan la celda

En el caso que abandonan la celda se considera

equation=9078

integrando sobre una de las velocidades que inician la colisi n y ambas resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

equation

Colisiones que contribuyen

En el caso de contribuciones a la celda se considerar

equation=9078

integrando sobre las velocidades que inician la colisi n y una de las resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

equation

Colisiones totales

Con el termino de las colisiones que contribuyen

equation=9078

y aquellas que reducen part culas

equation=9079

se obtiene el factor total de intercambio

equation

Distribuci n en Equilibrio (Gas de Particulas)

La distribuci n en equilibrio se puede aproximar por una distribuci n de Maxwell Boltzmann

equation

en donde m es la masa de la part cula, T la temperatura del sistema y k la constante de Boltzmann.

Ecuaci n LBM en la aproximaci n de relajaci n

En la aproximaci n de relajaci n se supone que la distribuci n f_i(\vec{x},t) tiende a relajarse en un tiempo \tau a una distribuci n en equilibrio f_i^{eq}(\vec{x},t) seg n la ecuaci n\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$

que tiene en la aproximaci n discreta la ecuaci n

equation

donde el termino de las diferencias en las funciones distribuci n representa las colisiones.

Colisiones

En caso de que las part culas colisionan la funci n distribuci n f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$

Las colisiones lleva a que part culas de celdas vecinas sufran un colisi n que las lleva a la celda en consideraci n y part culas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de part culas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuaci n de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

equation

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