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Ejemplo de Desidad
Definición

En el caso D2Q9 la densidad se calcula simplemente sumando los distintos factores

$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$

\\n\\npor lo que se tiene\\n\\n

$rho[x,y] = O[x,y]+N[x,y]+E[x,y]+S[x,y]+W[x,y]+NE[x,y]+SE[x,y]+NW[x,y]+SW[x,y]$

ID:(9152, 0)


Ejemplo de Velocidad en x
Imagen

En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$

por lo que se tiene

```

u_x[x,y] = E[x,y] + NE[x,y] + SE[x,y] - W[x,y] - NW[x,y] - SW[x,y]

```

ID:(9153, 0)


Ejemplo de Velocidad en y
Nota

En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$

por lo que se tiene

```

u_y[x,y] = N[x,y] + NE[x,y] + NW[x,y] - S[x,y] - SE[x,y] - SW[x,y]

```

ID:(9154, 0)


Ejemplo de elemento de Colisión
Cita

En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

\\n\\npor lo que se tiene para cada celda\\n\\n

$O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)$

\\n

$E = E+w(rho/9)(1+u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)$

\\n

$W = W+w(rho/9)(1-u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)$

\\n

$N = N+w(rho/9)(1+u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)$

\\n

$S = S+w(rho/9)(1-u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)$

\\n

$NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-NE)$

\\n

$SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-SE)$

\\n

$NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-NW)$

\\n

$SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-SW)$

\\n\\ncon\\n\\n

$u2 = u_x^2+u_y^2$

ID:(9155, 0)


Ejemplo Simulador Hidrodinámico
Ejercicio

En el caso de partículas de un liquido el método LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)

ID:(9156, 0)


Solución clásica LBM en la aproximación BGK
Storyboard

Variables

Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$f^{eq}_i$
feq_i
Componente $i$ de la distribución en equilibrio según BGK
-
$\rho$
rho
Densidad en el espacio
kg/m^3
$\vec{e}_i$
&e_i
Dirección de la componente $i$ según BGK
-
$c$
c
Factor de normalización de BGK
-
$\omega_i$
omega_i
Factor de peso en la componente $i$ según BGK
-
$f$
f
Función distribución de la teoría de transporte
-
$f^{(0)}$
f^0
Función distribución en equilibrio
-
$t$
t
Tiempo
s
$\tau$
tau
Tiempo de relajamiento
s
$\vec{u}$
&u
Velocidad en el espacio
m/s

Cálculos


Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Una forma de solucionar la ecuaci n general de Boltzmann es linearizar la ecuaci n suponiendo que el termino de colisi n se puede escribir como la diferencia entre la funci n distribuci n y la soluci n en equilibrio representada por la funci n distribuci n de Maxwell Boltzmann

equation

La distribuci n en equilibrio se puede aproximar por una distribuci n de Maxwell Boltzmann

equation

en donde m es la masa de la part cula, T la temperatura del sistema y k la constante de Boltzmann.

En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

equation=9082

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

equation

con \omega_i los pesos dados por

Modelo$\omega_i$Index
1DQ3 ? i=0
- ? i=1, 2
2DQ9 4/9 i=0
- 1/9 i=1,...,4
- 1/36 i=5,...,8
3DQ15 1/3 i=0
- 1/18 i=1,...,6
- 1/36 i=7,...,14
3DQ19 ? i=0
- ? i=1,...,6
- ? i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

En el caso D2Q9 la densidad se calcula simplemente sumando los distintos factores

equation=8458\\n\\npor lo que se tiene\\n\\n

$rho[x,y] = O[x,y]+N[x,y]+E[x,y]+S[x,y]+W[x,y]+NE[x,y]+SE[x,y]+NW[x,y]+SW[x,y]$

En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores

equation=8459

por lo que se tiene

```

u_x[x,y] = E[x,y] + NE[x,y] + SE[x,y] - W[x,y] - NW[x,y] - SW[x,y]

```

En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores

equation=8459

por lo que se tiene

```

u_y[x,y] = N[x,y] + NE[x,y] + NW[x,y] - S[x,y] - SE[x,y] - SW[x,y]

```

En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

equation=9084\\n\\npor lo que se tiene para cada celda\\n\\n

$O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)$

\\n

$E = E+w(rho/9)(1+u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)$

\\n

$W = W+w(rho/9)(1-u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)$

\\n

$N = N+w(rho/9)(1+u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)$

\\n

$S = S+w(rho/9)(1-u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)$

\\n

$NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-NE)$

\\n

$SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-SE)$

\\n

$NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-NW)$

\\n

$SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-SW)$

\\n\\ncon\\n\\n

$u2 = u_x^2+u_y^2$

En el caso de part culas de un liquido el m todo LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)

>Modelo

ID:(1153, 0)