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Divergencia del campo
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La divergencia analiza el flujo del campo eléctrico para volúmenes infinitesimales. Este valor es proporcional a la densidad de carga con lo que la divergencia es una herramienta para detectar la presencia de cargas ya que el problema de la ley de Gauss para volúmenes mayores es que si la suma de las cargas se anula dentro del volumen entonces también los campo tienden a compensarse.

>Modelo

ID:(1566, 0)

Subdividiendo superficies y volúmenes
Descripción

Cuando se analizo el flujo eléctrico

$ \Phi = \displaystyle\int \vec{E} \cdot \hat{n} dS $



se vio que se podia calcular subdividiendo el volumen en muchas pequeñas superficies dS_i.

En otras palabras un volumen con su respectiva superficie se puede subdividir en múltiples volúmenes con sus correspondientes superficies:


ID:(11560, 0)

Flujo por volumen
Descripción

Si se toma el flujo del campo eléctrico por el volumen en la dirección \hat{x}:



es igual a lo que flujo que sale

E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z

y se resta el flujo que ingresa

E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z

se puede estimar el flujo neto por volumen \Delta x\Delta y\Delta z es

\displaystyle\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}(E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z - E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z)=\displaystyle\frac{E_x(x+\Delta x,y,z)-E_x(x,y,z)}{\Delta x}\rightarrow \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}

ID:(11616, 0)

Divergencia del campo
Descripción

La divergencia analiza el flujo del campo eléctrico para volúmenes infinitesimales. Este valor es proporcional a la densidad de carga con lo que la divergencia es una herramienta para detectar la presencia de cargas ya que el problema de la ley de Gauss para volúmenes mayores es que si la suma de las cargas se anula dentro del volumen entonces también los campo tienden a compensarse.

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS
$E$
E
Campo eléctrico
V/m
$\vec{E}$
&E
Campo eléctrico
V/m
$Q$
Q
Carga
C
$E_x$
E_x
Componente campo eléctrico en $x$
V/m
$E_y$
E_y
Componente campo eléctrico en $y$
V/m
$E_z$
E_z
Componente campo eléctrico en $z$
V/m
$\epsilon$
epsilon
Constante dieléctrica
-
$\rho_e$
rho_e
Densidad de carga por volumen
C/m^3
$\partial/\partial x$
D_x
Derivada parcial en $x$
1/m
$\partial/\partial y$
D_y
Derivada parcial en $y$
1/m
$\partial/\partial z$
D_z
Derivada parcial en $z$
1/m
$\vec{\nabla}$
div
Divergencia
1/m
$\Phi_i$
Phi_i
Flujo magnético por la celda $i$
kg/C s
$S$
S
Superficie
m^2
$S_i$
S_i
Superficie i
m^2
$V$
V
Volumen
m^3
$V_i$
V_i
Volumen de la $i$ esima celda infinitesimal
m^3

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Cuando se analizo el flujo el ctrico

$ \Phi = \displaystyle\int \vec{E} \cdot \hat{n} dS $



se vio que se podia calcular subdividiendo el volumen en muchas peque as superficies dS_i.

En otras palabras un volumen con su respectiva superficie se puede subdividir en m ltiples vol menes con sus correspondientes superficies:


(ID 11560)

Al subdividir el volumen en peque os vol menes infinitesimales V_i con una superficie en su entorno S_i se puede calcular la contribuci n al flujo

$\Phi_i = \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$


(ID 11561)

Si se toma el flujo del campo el ctrico por el volumen en la direcci n \hat{x}:



es igual a lo que flujo que sale

E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z

y se resta el flujo que ingresa

E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z

se puede estimar el flujo neto por volumen \Delta x\Delta y\Delta z es

\displaystyle\frac{1}{\Delta x\Delta y\Delta z}(E_x(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z - E_x(x,y,z)\Delta y\Delta z)=\displaystyle\frac{E_x(x+\Delta x,y,z)-E_x(x,y,z)}{\Delta x}\rightarrow \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}

(ID 11616)

El flujo en la direcci n \hat{x} es

$\displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}$



por lo que el flujo total se puede generalizar a tres dimensiones que corresponde de hecho al producto punto del vector derivada

$\vec{\nabla} = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}$



con lo que la divergencia se define como:

$ \nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\partial E_x}{\partial x}+ \displaystyle\frac{\partial E_y}{\partial y}+ \displaystyle\frac{\partial E_z}{\partial z}$


(ID 11566)

Como el volumen V_i es infinitesimalmente chico tambi n lo ser su superficie S_i. Sin embargo se puede definir el flujo por volumen que al ser ambas magnitudes infinitesimal puede no ser nulo. Esta proporci n la denominamos la divergencia y se define como

$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$


(ID 11562)

Si consideramos el flujo segmentado

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\displaystyle\sum_i \displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$



se puede empleamos la definici n de la divergencia

$\nabla\cdot\vec{E} = \lim_{V_i\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{V_i}\displaystyle\int_{S_i} \vec{E}\cdot d\vec{S}_i$



para pasar de la suma de suma de volumenes

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\displaystyle\sum_i V_i \vec{\nabla}\cdot\vec{E}\rightarrow \displaystyle\int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV$



a la integral del volumen

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$


(ID 11563)

En la ley de Gauss se tenia una carga Q rodeada en una superficie S (la superficie gaussiana). Con ello tiene sentido de hablar de una densidad de carga \rho como la carga por unidad de volumen asociado a la superficie. Con ello la carga Q es la integral de la densidad de carga en el volumen

$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$


(ID 11564)

Si comparamos la ley de Gauss

$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$



con el teorema de la divergencia

$\displaystyle\int_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \displaystyle\int_V (\nabla\cdot\vec{E}) dV$



y la definici n de la densidad de carga

$ Q = \displaystyle\int_V \rho dV$



se obtiene la ley diferencial de Gauss

$\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$



La ley de Gauss en su forma diferencial 'detecta' las cargas en los vol menes infinitesimales obviando el problema que en el teorema de Gauss integral en que para vol menes mayores si la suma de las cargas contenidas se anula el campo tambi n se compensa.


(ID 11565)

ID:(1566, 0)