Utilisateur:
Densité d'écoulement et conductivité hydraulique
Concept
A densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de a conductivité hydraulique ($K_s$), dans la limite infinitésimale avec a différentiel de hauteur de colonne ($dh$) et a différentiel de distance ($dx$), comme suit :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Cela signifie que plus le gradient est raide ou plus le terrain est pentu, plus a densité de flux ($j_s$) sera grand, comme illustré dans le graphique :
Le graphique montre comment les barres ayant des valeurs égales de différentiel de distance ($dx$) ont progressivement des valeurs de différentiel de hauteur de colonne ($dh$) de plus en plus petites, entraînant une diminution de densité de flux ($j_s$). Étant donné que le volume du liquide est conservé, cela ne peut être possible que s'il existe un autre flux qui compense cette réduction de densité de flux ($j_s$). Il pourrait s'agir d'un flux perpendiculaire à celui montré dans le graphique, par exemple, si les barres plus courtes sont plus larges dans une direction perpendiculaire au graphique.
Ce problème conduit aux considérations suivantes :
La hauteur $h$ du liquide ne peut être calculée qu'en résolvant une équation différentielle, car elle doit satisfaire à l'exigence que le volume soit conservé sur l'ensemble de la zone où s'écoule le fluide.
De plus, il est important de garder à l'esprit que :
Le signe négatif reflète le fait que le flux s'écoule toujours de la zone de plus haute altitude vers celle de plus basse altitude. Si la pente est négative, le signe négatif entraîne un flux positif (de gauche à droite), et inversement, si la pente est positive, le flux est négatif (de droite à gauche).
ID:(930, 0)
Équation de flux en une dimension
Concept
Si nous étudions le cas unidimensionnel, décrivant le processus le long de l'axe $x$, nous pouvons observer comment la hauteur de la colonne $\Delta h$ varie sur un intervalle de temps $\Delta t$. Dans ce cas, une colonne d'une largeur $\Delta x$ changera son volume par unité de longueur au fil du temps comme $\Delta x \Delta h/\Delta t$. D'autre part, la quantité de liquide qui entre le long de la colonne en $x$ est $h(x) j_s(x)$, tandis qu'en $x+\Delta x$ il en sort comme $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$ :
Par conséquent, la variation de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) au fil du temps est égale à la variation du produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) à la position :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
Les dérivées partielles sont similaires aux dérivées ordinaires, à la différence qu'elles s'appliquent à des fonctions qui dépendent de plus d'une variable. Dans ces cas, la dérivée partielle, représentée par le symbole $\partial$, nous rappelle la dérivée classique notée par la lettre $d$, mais avec la particularité que les variables non mentionnées au dénominateur sont maintenues constantes.
ID:(2290, 0)
S'écouler dans un canal
Concept
Dans le cas de l'écoulement vers un canal, le système peut être modélisé de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$), et elle satisfait à la condition
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol :
La clé de cette équation est que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et de a densité de flux ($j_s$) doit toujours rester constant. En ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminue et vice versa. De plus, le signe reste le même ; donc, l'écoulement vers le canal, c'est-à-dire l'écoulement négatif, se produira uniquement lorsque le niveau de la nappe phréatique est plus élevé que celui du canal. À mesure que le liquide s'approche du canal, le niveau de la nappe phréatique diminue, entraînant une augmentation de la densité de l'écoulement.
ID:(15104, 0)
Solution de hauteur d'écoulement vers un canal
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un canal, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculé en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) au bord du canal, ainsi que de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), a la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Le profil révèle qu'à distance du canal, la hauteur de la colonne d'eau est considérablement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le canal, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du canal. Dynamiquement, a densité de flux ($j_s$) détermine la quantité d'eau qui s'écoule dans le canal, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) s'ajuste progressivement jusqu'à atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est trop basse par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive dans le canal, elle augmente ; et si elle est trop élevée, elle diminue. De cette manière, a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau entrante avec la quantité d'eau s'écoulant à travers le canal.
ID:(15109, 0)
Solution de densité de flux vers un canal
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) révèle que a densité de flux ($j_s$) est donné par :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Il est notable que a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, car a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternance, pour l'augmenter.
ID:(15110, 0)
Flux provenant d'un canal
Concept
Dans le cas où le flux émerge du canal, une situation se présente où le niveau de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) doit diminuer à mesure que l'on s'éloigne du canal, assurant ainsi l'existence du gradient de pression qui entraîne le flux. Le problème est que si le flux se déplace rapidement à l'intérieur du milieu, la hauteur aura tendance à atteindre zéro et, par conséquent, le flux approchera l'infini, ce qui n'a aucun sens.
Cela signifie qu'il n'y a pas de solution stationnaire dans un tel scénario, et la seule solution est que le milieu se remplisse jusqu'à atteindre la hauteur du canal, devenant ainsi effectivement constant.
La question est de savoir s'il existe une situation stationnaire non triviale qui représente une situation réelle et intéressante. Un cas possible est lorsque le niveau du milieu diminue au point de devenir plus bas que la colonne avant que la solution ne diverge. Ce cas correspond à la situation où le flux émerge à la surface, et il n'y a pas de divergence dans la solution. Cela impliquerait qu'un flux est généré et sort à l'extérieur à un certain point, avec le risque d'affaiblir les fondations et ainsi de déstabiliser le milieu, qui agit comme un barrage.
ID:(4746, 0)
Situation qui répond aux conditions limites
Concept
Si nous considérons une situation où le flux du canal peut émerger à la surface, nous avons une situation où le flux pénètre puis sort du milieu, rendant la solution viable.
L'émergence à la surface implique simplement que la hauteur de la colonne de liquide devient plus élevée que celle du milieu environnant. En fait, de manière similaire au cas du flux vers un canal, cela générerait de l'eau en surface, qui, si elle n'est pas autorisée à s'écouler, formerait effectivement un nouveau canal.
Dans le cas du flux provenant d'un canal, il est possible de modéliser le système de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$) et satisfaisant à la condition suivante :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol, comme indiqué dans l'image suivante :
La clé de l'équation réside dans le fait que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) doit rester constant en tout temps. Dans ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminuera, et vice versa. De plus, le signe reste le même. Par conséquent, le flux du canal, c'est-à-dire le flux positif, ne se produira que si la hauteur du canal est supérieure à celle du point où le flux émerge. À mesure que le liquide s'éloigne du canal, la hauteur diminuera, et la densité du flux augmentera.
ID:(4370, 0)
Solution de hauteur d'écoulement à partir d'un canal
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel depuis un canal, dans laquelle la valeur de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculée en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) au bord du canal, ainsi qu'avec le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), prend la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $x/x_0$ de la manière suivante :
Le profil révèle que la hauteur diminue à mesure que l'on s'éloigne du canal pour maintenir un gradient de pression. Cependant, un problème survient lorsque la distance atteint la moitié de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), car la hauteur de la colonne atteint zéro et il n'y a pas de solution pour des distances plus grandes (l'argument de la racine carrée devient négatif). En d'autres termes, pour que la solution ait un sens, il doit y avoir un mécanisme qui élimine le liquide avant d'atteindre cette distance critique.
ID:(4374, 0)
Solution de densité de flux à partir d'un canal
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) nous montre que a densité de flux ($j_s$) est égal à :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/x_0$ comme suit :
a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, tandis que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse d'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternative, pour l'augmenter.
ID:(7827, 0)
Barrage I - Mina Córrego do Feijão
Concept
Un exemple illustrant l'effet du flux à travers la base dans le cas d'un barrage est survenu au Barrage 1 de la mine 'Córrego do Feijão' à Brumadinho, Minas Gerais, au Brésil.
Le 25 janvier 2019, le Barrage 1, qui se trouve au centre de l'image, s'est effondré comme le montrent les images de 1 à 6. Initialement, la base a commencé à se déplacer tandis que le sommet a commencé à s'enfoncer. Finalement, un torrent d'eau a émergé de la base alors que toute la structure s'effondrait. Sur l'image centrale inférieure, vous pouvez voir la situation après que le barrage se soit complètement vidé du côté qui le contenait ([1], [2]) :
L'image en haut à gauche montre le barrage avant l'effondrement, et le schéma explique comment l'eau pousse contre la surface de la base (flèches bleues) et fait s'effondrer le centre (flèche beige). Les images montrent à nouveau la structure avant l'effondrement (photo en haut à droite), lorsque la base est forcée, provoquant l'effondrement de la partie supérieure (photo en bas à gauche), et le débit d'eau résultant à la base (photo en bas à droite) [3] :
La dynamique est générée par la forte pression et le débit élevé qui existent à la base, expliquant l'émergence de l'eau par ce chemin.
Dans ce cas, il y avait de multiples signes de danger, ce qui a conduit à une surveillance satellite détaillée du mouvement de plusieurs points pendant plus d'un an. Les points sont indiqués sur la photo supérieure, et sur la deuxième image en bas à gauche, vous pouvez voir un détail de la base. Plus précisément, les points qui ont connu le plus grand déplacement total (Bs et Bp) sont mis en évidence, et ces points sont également représentés sur le graphique à droite. Le graphique montre également la quantité de pluie, qui contribue dans une certaine mesure mais n'est pas nécessairement un facteur clé [4] :
Cet exemple vise à démontrer comment une forte pression à la base, associée à un débit d'eau élevé, contribue à la dynamique observée, sans nécessairement expliquer quand ou comment elle est devenue instable. Cela sera exploré plus en détail par la suite.
[1] Google Earth Pro pour Brumadinho, Minas Gerais, Brésil, janvier 2019 et février 2019
[2] Caméras de la Vale S.A.
[3] Procédure d'Investigation Criminelle n° MPMG-0090.19.000013-4, Enquête de Police n° PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS
[4] Déformations Précédant l'Effondrement du Barrage de Brumadinho Révélées par des Données InSAR du Sentinel-1 Utilisant les Techniques SBAS et PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella et Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664.
ID:(4378, 0)
Couler dans un puits
Concept
Dans le cas de l'écoulement de l'eau souterraine vers un puits, a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est représenté par
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ce qui définit le profil de l'eau dans le sol :
ID:(4371, 0)
Solution hauteur d'écoulement vers un puits
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un puits, dans laquelle la valeur de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculée en fonction de le rayon du centre du puits ($r$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le rayon du puits d'eau ($r_0$) au bord du puits, ainsi que le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), a la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $r/r_0$ pour différentes valeurs de $r_0/s_0$, comme suit :
Le profil révèle que, loin du puits, la hauteur de la colonne d'eau est nettement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le puits, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du puits. Dynamiquement, a densité de flux ($j_s$) détermine la quantité d'eau qui s'écoule vers le puits, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) s'ajuste progressivement pour atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est trop faible par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive au puits, elle augmente, et si elle est trop élevée, elle diminue. Ainsi, a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau qui arrive avec la quantité d'eau qui est extraite par le puits.
ID:(10591, 0)
Solution de densité de flux vers un puits
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) nous montre que a densité de flux ($j_s$) est égal à :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $j_s/j_{s0}$ et $r/r_0$ pour diverses valeurs de $r_0/s_0$ de la manière suivante :
a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, tandis que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternative, pour l'augmenter.
ID:(2209, 0)
Modèle
Concept
Variables
Paramètres
Paramètre sélectionné
Calculs
Équation
$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $
&j_s = - K_s * @GRAD( h , x )
$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $
h * &D^2 h + &D h * &D h = 0
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = - h_0 ^2/ x_0
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 )
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 - 2* x / x_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 + 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 - 2* x / x_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$
j = j_s0 /(( r / r_0 )*sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 ))
$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$
j_s = - k_s * dp /( eta * dx )
$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $
k_s = eta * K_s /( rho_w * g )
$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$
K_s = r_0 ^2 * f ^3 * rho_w * g /(8* q_0 *(1- f )^2* eta )
$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$
k_s = r_0 ^2 * f ^3/(8* q_0 *(1 - f )^2)
$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $
r * @DIFF( h ^2, r, 1) = h_0 ^2* r_0 / s_0
$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$
s_0 = abs( j_s0 )/( K_s * h_0 )
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$
D_t h = - &D * (h &j_s)
ID:(15224, 0)
Conductivité hydraulique du sol
Équation
Le flux de liquide dans un milieu poreux comme le sol est mesuré à l'aide de la variable a densité de flux ($j_s$), qui représente la vitesse moyenne à laquelle le liquide se déplace à travers celui-ci. Lors de la modélisation du sol et de la manière dont le liquide le traverse, on constate que ce processus est influencé par des facteurs tels que a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), qui, lorsqu'ils sont plus élevés, facilitent le flux, tandis que a viscosité ($\eta$) entrave le passage à travers les capillaires, réduisant ainsi la vitesse d'écoulement.
Le modèle intègre finalement ce que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$), une variable qui dépend des interactions entre le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$) et a porosité propre générique ($q_0$) :
 $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Étant donné que a densité de flux ($j_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$), a porosité propre générique ($q_0$), a différence de hauteur ($\Delta h$) et le longueur de l'échantillon ($\Delta L$) à travers l'équation :
| $ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$ |
Nous pouvons définir un facteur que nous appellerons a conductivité hydraulique ($K_s$) comme suit :
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
Ce facteur englobe tous les éléments liés aux propriétés du sol et du liquide qui s'écoule à travers lui.
a conductivité hydraulique ($K_s$) exprime la facilité avec laquelle le liquide est conduit à travers le milieu poreux. En fait, a conductivité hydraulique ($K_s$) augmente avec a porosité ($f$) et le rayon d'un grain générique ($r_0$), et diminue avec a porosité propre générique ($q_0$) et a viscosité ($\eta$).
ID:(4739, 0)
Perméabilité du sol
Équation
A conductivité hydraulique ($K_s$) représente comment le liquide se comporte dans le milieu. Une partie de a conductivité hydraulique ($K_s$) est inhérente aux propriétés du milieu lui-même, tandis qu'une autre partie contient des constantes qui décrivent le comportement du liquide. Par conséquent, il est logique d'introduire une nouvelle constante spécifique au milieu et non au liquide qui s'écoule à travers lui.
Ainsi, a perméabilité du sol ($k_s$) est en relation avec le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$) et a porosité propre générique ($q_0$) grâce à la définition suivante :
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Étant donné que a conductivité hydraulique ($K_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), a viscosité ($\eta$) et a porosité propre générique ($q_0$) à travers
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
nous pouvons définir la partie qui dépend uniquement du sol comme a perméabilité du sol ($k_s$), en l'exprimant comme suit :
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
ID:(10595, 0)
Perméabilité et conductivité hydraulique
Équation
A perméabilité du sol ($k_s$) peut être calculé à partir de a conductivité hydraulique ($K_s$), a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a viscosité ($\eta$) en utilisant l'expression suivante :
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
A perméabilité du sol ($k_s$) est lié à Le rayon d'un grain générique ($r_0$), a porosité ($f$) et a porosité propre générique ($q_0$), il est égal à
| $ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$ |
Par conséquent, avec l'équation pour a conductivité hydraulique ($K_s$), ainsi qu'avec a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a viscosité ($\eta$),
| $ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$ |
cela aboutit à la relation entre a perméabilité du sol ($k_s$) et a conductivité hydraulique ($K_s$) comme étant
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Généralement, les mesures de caractérisation des sols sont effectuées avec un liquide spécifique, ce qui donne une valeur de une conductivité hydraulique ($K_s$). Avec cette valeur, vous pouvez calculer a perméabilité du sol ($k_s$) en utilisant l'équation mentionnée ci-dessus.
ID:(34, 0)
Densité de débit et gradient de pression
Équation
A densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en fonction de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) ou, en fonction de a pression de la colonne d'eau ($p_t$) généré par la colonne de liquide. En utilisant la définition de a perméabilité du sol ($k_s$) en termes de a conductivité hydraulique ($K_s$), nous obtenons l'expression suivante pour a viscosité ($\eta$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) :
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
A différence de pression ($\Delta p$) par rapport à A densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a différence de hauteur ($\Delta h$) est calculé selon l'équation suivante :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
dans la limite infinitésimale où A différence de pression ($\Delta p$) équivaut à A différence de pression ($dp$), noté comme :
$\Delta p \rightarrow dp$
et où A différence de hauteur ($\Delta h$) équivaut à A différentiel de hauteur de colonne ($dh$), noté comme :
$\Delta h \rightarrow dh$
En utilisant la relation de a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$), a différentiel de hauteur de colonne ($dh$) et a différentiel de distance ($dx$), qui est exprimée comme suit :
| $$ |
et la relation pour a perméabilité du sol ($k_s$) avec a viscosité ($\eta$), qui est exprimée comme suit :
| $ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $ |
Nous pouvons dériver l'équation suivante :
| $ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$ |
ID:(45, 0)
Densité de flux et gradient de hauteur dans plus de dimensions
Équation
Étant donné que l'équation unidimensionnelle pour a densité de flux ($j_s$) est exprimée comme a conductivité hydraulique ($K_s$), a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) comme suit :
Il est possible de généraliser cette équation pour le cas d'un milieu homogène, ce qui donne une équation pour a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) où A conductivité hydraulique ($K_s$) reste constant, comme suit :
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
ID:(999, 0)
Équation de flux en plus d'une dimension
Équation
Si nous généralisons l'équation en une dimension pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le temps ($t$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) avec a densité de flux ($j_s$) :
et remplaçons la dérivée partielle par une divergence, nous obtenons avec a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
ID:(15111, 0)
Solution statique en une dimension
Équation
Dans le cas de l'équation de la hauteur en une dimension, exprimée comme suit :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$), l'équation
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
dans le cas stationnaire se réduit à
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) par a densité de flux ($j_s$) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$), alors vous avez :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position $x$ et non plus du temps $t$.
ID:(15107, 0)
Longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol
Équation
Avec a conductivité hydraulique ($K_s$), le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$), on peut définir un longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) de la manière suivante :
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Pour ne pas compliquer l'analyse, nous avons défini l'expression en tenant compte de la valeur absolue de le flux à un point de référence ($j_{s0}$), afin d'éviter les situations où celle-ci pourrait être négative. Cela signifie que, en fonction du signe de le flux à un point de référence ($j_{s0}$), nous devons exprimer la relation en supposant une dérivée positive ou négative, déterminant ainsi la direction de l'écoulement.
ID:(4747, 0)
Équation de débit dans un canal
Équation
L'équation différentielle permettant de calculer a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
L'équation pour le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) est la suivante :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Et avec l'équation qui décrit a densité de flux ($j_s$) en termes de a conductivité hydraulique ($K_s$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) :
| $$ |
Et avec l'expression pour le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) :
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
Nous pouvons dériver l'équation résultante de la manière suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
ID:(15108, 0)
Hauteur d'écoulement dans un canal
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Cette équation peut être résolue analytiquement pour les conditions données avec a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) à la frontière du canal comme suit :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et dépendante de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Nous pouvons la réarranger pour faciliter l'intégration comme suit :
$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Ensuite, en intégrant par rapport à $h_0$, la hauteur à l'origine, nous obtenons :
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$
Cela nous conduit à l'expression suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(15105, 0)
Densité du flux dans un canal
Équation
A densité de flux ($j_s$) est lié à A conductivité hydraulique ($K_s$), a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$), et a position de la colonne d'eau au sol ($x$), ce qui donne comme résultat
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Par conséquent, avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous avons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$) en utilisant :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
et en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(15106, 0)
Équation de débit à partir d'un canal
Équation
L'équation différentielle pour calculer a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Dans ce cas, le signe de la pente est négatif, car la hauteur doit diminuer pour générer le gradient de pression nécessaire au déplacement du liquide.
ID:(4369, 0)
Hauteur d'écoulement d'un canal
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), qui dépend de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Cette équation peut être résolue analytiquement pour les conditions données avec a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) au bord du canal comme suit :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
La formule pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), dépendant de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $ |
Nous pouvons la réorganiser pour faciliter l'intégration comme suit :
$h dh = -\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Ensuite, en intégrant par rapport à $h_0$, la hauteur à l'origine, nous obtenons :
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =-\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}x$
Cela nous conduit à l'expression suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
ID:(2214, 0)
Densité de débit d'un canal
Équation
A densité de flux ($j_s$) est lié à A conductivité hydraulique ($K_s$), a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$), ce qui donne comme résultat :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
Par conséquent, avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
Avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$) en utilisant :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
et en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $ |
ID:(4742, 0)
Solution statique en plus d'une dimension
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) avec le temps ($t$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) est la suivante :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
Dans le cas stationnaire et en utilisant l'équation pour a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$), lorsque nous développons les dérivées, nous obtenons :
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) avec le temps ($t$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) est la suivante :
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$ |
en relation avec
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
résulte après remplacement et développement de la dérivée
$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$
ce qui, dans le cas stationnaire, se réduit à
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
ID:(4375, 0)
Équation de débit dans un puits
Équation
Dans le cas du puits, nous pouvons travailler avec un système de coordonnées polaires et supposer une symétrie angulaire, ce qui signifie que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) dépend uniquement de le rayon du centre du puits ($r$) et satisfait l'équation
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Comme a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) satisfait à
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
et en coordonnées polaires avec le rayon du centre du puits ($r$) pour le cas de la symétrie angulaire, nous avons
$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$
et
$\nabla ^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$
nous obtenons
$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$
ou
$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$
avec $C$ comme constante. D'autre part, l'équation avec a conductivité hydraulique ($K_s$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$)
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
en coordonnées polaires avec une symétrie de rotation se réduit à
$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$
ce qui à la surface du puits avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) conduit à la conclusion qu'avec
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
nous avons
$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$
aboutissant à
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ID:(4430, 0)
Hauteur d'écoulement dans un puits
Équation
Dans le cas de l'écoulement vers un puits, a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est représenté par
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Cette équation peut être résolue analytiquement pour les conditions données, avec le rayon du puits d'eau ($r_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) à la bordure du puits, de la manière suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est la suivante :
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Cette équation peut être réarrangée pour faciliter l'intégration de la manière suivante :
$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$
Ensuite, en intégrant des deux côtés, nous obtenons la hauteur sur le mur du puits avec a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le rayon du puits d'eau ($r_0$) :
$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$
Enfin, en réarrangeant a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
ID:(10593, 0)
Densité d'écoulement dans un puits
Équation
A densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) est lié à A conductivité hydraulique ($K_s$), et en coordonnées polaires avec une symétrie angulaire de le rayon du centre du puits ($r$), cela se traduit par
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
Par conséquent, avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$), et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Avec la solution pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) donnés le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) à partir de a conductivité hydraulique ($K_s$) de la manière suivante :
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
Et avec a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
ID:(4368, 0)