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La porosidad del suelo permite que el agua de lluvia o de regadío penetre el suelo y llegue hasta la napa. Por ello debemos estudiar como se puede modelar en base a nuestro modelo geométrico como se desplaza el agua.

>Modelo

ID:(367, 0)

Concepto

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ID:(15205, 0)

Concepto

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La densidad de flujo ($j_s$) se puede expresar en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$), en el límite infinitesimal con la diferencial de la altura de la columna ($dh$) y la diferencial de distancia ($dx$), de la siguiente manera:

Esto significa que cuanto mayor sea el gradiente o más empinado sea el terreno, mayor será La densidad de flujo ($j_s$), como se ilustra en el gráfico:

El gráfico muestra cómo las barras con igual diferencial de distancia ($dx$) tienen valores cada vez menores de diferencial de la altura de la columna ($dh$), lo que resulta en un valor cada vez menor de densidad de flujo ($j_s$). Dado que el volumen de líquido se conserva, esto solo puede ser posible si existe otro flujo que compense esta reducción en densidad de flujo ($j_s$). Esto podría ser un flujo perpendicular al que se muestra, por ejemplo, si las barras más bajas son más anchas en una dirección perpendicular al gráfico.

Este problema conduce a lo siguiente:

La altura $h$ del líquido solo se puede calcular como resultado de la solución de una ecuación diferencial, ya que debe cumplir con la exigencia de que el volumen se conserve en todo el ámbito donde existe flujo.

Además, es importante tener en cuenta que:

El signo negativo refleja el hecho de que el flujo siempre va de la zona de mayor altura a la de menor altura. Si la pendiente es negativa, gracias al signo, el flujo es positivo (de izquierda a derecha), y si, por el contrario, la pendiente es positiva, el flujo es negativo (de derecha a izquierda).

ID:(930, 0)

Concepto

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Si estudiamos el caso unidimensional, describiendo el proceso a lo largo del eje $x$, podemos observar cómo varía la altura de la columna $\Delta h$ en un intervalo de tiempo $\Delta t$. En este caso, una columna con ancho $\Delta x$ cambiará su volumen por unidad de longitud en el tiempo dado por $\Delta x \Delta h/\Delta t$. Por otro lado, la cantidad de líquido que entra a lo largo de la columna en $x$ es $h(x) j_s(x)$, mientras que en $x+\Delta x$ sale como $h(x+\Delta x) j_s(x+\Delta x)$:

Por lo tanto la variación de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en el tiempo es igual a la variación del producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) en la posición:

La derivada parcial es similar a la derivada ordinaria, con la diferencia de que se aplica a funciones que dependen de más de una variable. En estos casos, la derivada parcial, denotada por el símbolo $\partial$, nos recuerda a la típica derivada denotada por la letra $d$, pero con la particularidad de que las variables no mencionadas en el denominador se mantienen constantes.

ID:(2290, 0)

Concepto

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En el caso del flujo hacia un canal, se puede modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición

con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo:

La clave de la ecuación es que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser siempre constante. En ese sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) crece, la densidad de flujo ($j_s$) decrece y viceversa. Por otro lado, el signo es siempre igual, en este sentido, un flujo hacia el canal, es decir, negativo, ocurrirá solo si la altura de la napa es superior a la del canal, y a medida que el líquido se acerca al canal, la altura disminuirá y la densidad de flujo aumentará.

ID:(15104, 0)

Concepto

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La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un canal, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:

Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que, lejos del canal, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el canal, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del canal. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el canal, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al canal, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se desplaza a través del canal.

ID:(15109, 0)

Concepto

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La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:

Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

ID:(15110, 0)

Concepto

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En el caso en que el flujo surge desde el canal, se presenta la situación en la que el nivel de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) debe disminuir a medida que nos alejamos del canal, de manera que exista el gradiente de presión que genera el flujo. El problema es que si el flujo se desplaza rápidamente dentro del medio, la altura tenderá a cero y, con ello, el flujo aumentará infinitamente, lo que carece de sentido.

Esto significa que no existe una solución estacionaria y, ante esta situación, la única solución es que el medio se llene hasta que alcance la altura del canal, es decir, se vuelva constante.

La pregunta es si existe una situación estacionaria que no sea trivial y que represente una situación real de interés. Un caso posible es si el nivel del medio disminuye al punto en que se vuelve menor que la columna antes de que la solución diverja. Este caso corresponde a la situación en la que el flujo aflora a la superficie y no existe la situación en la que la solución diverja. Esto significaría que se genera un flujo que sale al exterior en un punto, con el riesgo de debilitar el fundamento y, por lo tanto, desestabilizar el medio, que actúa como una represa.

ID:(4746, 0)

Concepto

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Si consideramos una situación en la que el flujo desde el canal puede aflorar en la superficie, tenemos una situación en la que el flujo entra y luego sale del medio, lo que hace que la solución sea viable.

El afloramiento en la superficie simplemente implica que la altura de la columna de líquido se vuelve más alta que la del propio medio. De hecho, al igual que en el caso de un flujo hacia un canal, esto generaría agua en la superficie que, de no fluir, formaría un nuevo canal.

En el caso del flujo desde un canal, es posible modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición:

Con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo, como se muestra en la siguiente imagen:

La clave de la ecuación radica en que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante en todo momento. En este sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) aumenta, la densidad de flujo ($j_s$) disminuirá y viceversa. Además, el signo siempre es el mismo. Por lo tanto, un flujo desde el canal, es decir, un flujo positivo, solo ocurrirá si la altura del canal es mayor que la del punto donde el flujo aflora. A medida que el líquido se aleja del canal, la altura disminuirá y la densidad del flujo aumentará.

ID:(4370, 0)

Concepto

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La solución de la ecuación de flujo en una dimensión desde un canal, donde se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), adopta la siguiente forma:

Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que la altura disminuye a medida que nos alejamos del canal para mantener un gradiente de presión. Sin embargo, surge un problema cuando la distancia alcanza la mitad de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), ya que la altura de la columna llega a cero y no existe solución para distancias mayores (el argumento de la raíz es negativo). En otras palabras, para que la solución tenga sentido, debe existir algún mecanismo que elimine líquido antes de llegar a esta distancia crítica.

ID:(4374, 0)

Concepto

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La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:

Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/x_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

ID:(7827, 0)

Concepto

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Un ejemplo que ilustra el efecto del flujo a través de la base en el caso de una represa ocurrió en la represa 1 de la mina 'Córrego do Feijão' en Brumadinho, Minas Gerais, Brasil.

El 25 de enero de 2019, la represa 1, que se muestra en el centro de la imagen, colapsó, como se ilustra en las imágenes 1 a 6. Inicialmente, la base comenzó a desplazarse mientras la parte superior se hundía. Finalmente, un torrente de agua emergió en la base mientras toda la estructura colapsaba. En la imagen central inferior se muestra la situación después de que la represa se vació completamente del lado que la contenía ([1], [2]):

En la imagen superior izquierda se aprecia la represa antes de colapsar, y en el esquema se explica cómo el agua empuja la superficie de la base (flechas azules) y el centro colapsa (flecha beige). En las imágenes se puede ver nuevamente la estructura antes del colapso (foto superior derecha), cuando se comienza a forzar la base y colapsa la parte superior (foto inferior izquierda) y el caudal de agua resultante en la base (foto inferior derecha) [3]:

La dinámica está determinada por la alta presión y alto flujo que existen en la base, lo que explica el surgimiento del agua a través de este camino.

En este caso, hubo múltiples indicios de peligro, por lo que se realizó un monitoreo detallado vía satélite del desplazamiento de múltiples puntos durante más de un año. Los puntos se indican en la foto superior, y en la segunda imagen en la parte inferior izquierda, se observa un detalle de la base. Especialmente se destacan los puntos que experimentaron el mayor desplazamiento total (Bs y Bp), que también se muestran en el gráfico a la derecha. En el gráfico también se aprecia la cantidad de lluvia, que contribuye en parte pero no necesariamente es un factor clave [4]:

Este ejemplo pretende mostrar cómo la alta presión en la base junto con el alto flujo de agua contribuyen a la dinámica observada, sin explicar necesariamente cuándo ni cómo se volvió inestable. Esto se explorará más adelante.

[1] Google Earth Pro para Brumadinho, Minas Gerais, Brasil, enero de 2019 y febrero de 2019

[2] Cámaras Vale S.A.

[3] Procedimiento Investigativo Criminal n.º MPMG-0090.19.000013-4, Investigación Policial n. PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS

[4] Deformaciones Previas al Colapso de la Represa de Brumadinho Reveladas por Datos InSAR de Sentinel-1 Utilizando Técnicas SBAS y PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella y Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664

ID:(4378, 0)

Concepto

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En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante

que define el perfil del agua en el suelo:

ID:(4371, 0)

Concepto

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La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un pozo, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el radio del pozo de agua ($r_0$) en el borde del pozo, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:

Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:

El perfil revela que, lejos del pozo, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el pozo, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del pozo. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el pozo, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al pozo, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se extrae a través del pozo.

ID:(10591, 0)

Concepto

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La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:

Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:

la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.

ID:(2209, 0)

Concepto

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Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15224, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El flujo de líquido en un medio poroso como el suelo se mide mediante la variable la densidad de flujo ($j_s$), que representa la velocidad media a la que el líquido se desplaza a través de este medio. Al modelar el suelo y el paso del líquido a través de él, se descubre que este proceso está influenciado por factores como la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), que, al ser mayores, facilitan el flujo, mientras que la viscosidad ($\eta$) dificulta el paso a través de los capilares, lo que reduce la velocidad de flujo.

El modelo finalmente incorpora lo que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$), una variable que depende de las interacciones entre el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$):

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Condiciones

Variables

$J_1$

Factor de volumen propio de la arena

$-$

$J_2$

Factor de volumen propio del limo

$-$

$J_t$

Flujo total 2 capas

$m^3/s$

Relación

Desarrollo

Dado que la densidad de flujo ($j_s$) está relacionado con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$), la porosidad propia genérica ($q_0$), la diferencia de altura ($\Delta h$) y el largo de la muestra ($\Delta L$) a través de la ecuación

$ j_s =-\displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }\displaystyle\frac{ \Delta h }{ \Delta L }$

Podemos definir un factor al que llamaremos la conductividad hidráulica ($K_s$) de la siguiente manera:

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Este factor incorpora todos los elementos relacionados con las propiedades del suelo y del líquido que fluye a través de él.

la conductividad hidráulica ($K_s$) expresa la facilidad con la que el líquido se conduce a través del medio poroso. De hecho, la conductividad hidráulica ($K_s$) aumenta con la porosidad ($f$) y el radio de un grano genérico ($r_0$), y disminuye con la porosidad propia genérica ($q_0$) y la viscosidad ($\eta$).

ID:(4739, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La conductividad hidráulica ($K_s$) representa cómo se conduce el líquido en el medio. Una parte de la conductividad hidráulica ($K_s$) corresponde a las propiedades inherentes del propio medio, mientras que otra parte contiene las constantes que describen el comportamiento del líquido. Por lo tanto, tiene sentido introducir una nueva constante que sea específica del medio y no del líquido que fluye a través de él.

De este modo, la permeabilidad del suelo ($k_s$) se relaciona con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$) y la porosidad propia genérica ($q_0$) a través de la siguiente definición:

$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$

Condiciones

Variables

$S_1$

Sección en el punto 1

$m^2$

$S_2$

Sección en el punto 2

$m^2$

$S_3$

Sección en el punto 3

$m^2$

$S$

Sección o superficie

$m^2$

Relación

Desarrollo

Dado que la conductividad hidráulica ($K_s$) está vinculado a el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$), la viscosidad ($\eta$) y la porosidad propia genérica ($q_0$) a través de la ecuación:

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

Podemos definir la parte que depende exclusivamente del suelo como la permeabilidad del suelo ($k_s$), expresándola de la siguiente manera:

$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$

ID:(10595, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La permeabilidad del suelo ($k_s$) se puede calcular a partir de la conductividad hidráulica ($K_s$), la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la viscosidad ($\eta$) mediante la siguiente expresión:

$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La permeabilidad del suelo ($k_s$) está relacionado con el radio de un grano genérico ($r_0$), la porosidad ($f$) y la porosidad propia genérica ($q_0$), es igual a

$ k_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}$

Por lo tanto, con la ecuación para la conductividad hidráulica ($K_s$), junto con la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la viscosidad ($\eta$),

$ K_s \equiv \displaystyle\frac{ r_0 ^2 }{8 q_0 }\displaystyle\frac{ f ^3 }{(1- f )^2}\displaystyle\frac{ \rho_w g }{ \eta }$

resulta que la relación entre la permeabilidad del suelo ($k_s$) y la conductividad hidráulica ($K_s$) es

$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $

Por lo general, las mediciones para caracterizar un suelo se realizan utilizando un líquido en particular, lo que proporciona un valor específico de una conductividad hidráulica ($K_s$). A partir de este valor, es posible calcular la permeabilidad del suelo ($k_s$) utilizando la ecuación mencionada anteriormente.

ID:(34, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo ($j_s$) se puede expresar en función de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) o, en función de la presión de la columna de agua ($p_t$) generado por la columna de líquido. Empleando la definición de la permeabilidad del suelo ($k_s$) en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$), se obtiene para la viscosidad ($\eta$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) lo siguiente:

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La diferencia de presión ($\Delta p$) en relación con la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$) se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

en el límite infinitesimal en el que la diferencia de presión ($\Delta p$) es igual a la diferencial de la presión ($dp$), denotado como:

$\Delta p \rightarrow dp$

y en el que la diferencia de altura ($\Delta h$) es igual a la diferencial de la altura de la columna ($dh$), denotado como:

$\Delta h \rightarrow dh$

Usando la relación de la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$), la diferencial de la altura de la columna ($dh$), y la diferencial de distancia ($dx$), que se expresa como:

$$

y la relación para la permeabilidad del suelo ($k_s$) con la viscosidad ($\eta$), que se expresa como:

$ k_s = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho_w g } K_s $

Podemos obtener la siguiente ecuación:

$ j_s = -\displaystyle\frac{ k_s }{ \eta }\displaystyle\frac{ dp }{ dx }$

ID:(45, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la ecuación en una dimensión para la densidad de flujo ($j_s$) se expresa como la conductividad hidráulica ($K_s$), la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) de la siguiente manera:

Es posible generalizar esta ecuación para el caso de un medio homogéneo, lo que resulta en una ecuación para la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) donde la conductividad hidráulica ($K_s$) se mantiene constante, de la siguiente forma:

$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $

Condiciones

Variables

Relación

ID:(999, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si generalizamos la ecuación en una dimensión para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el tiempo ($t$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) con la densidad de flujo ($j_s$):

y reemplazamos la derivada parcial por una divergencia, obtenemos con la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$):

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$

Condiciones

Variables

Relación

ID:(15111, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de la ecuación de la altura en una dimensión, que se expresa como:

Podemos estudiar el caso estacionario, lo que implica que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante y, en particular, puede tomar valores en un punto específico representados por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$):

$ h j_s = h_0 j_{s0} $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

Si para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) la ecuación

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$

en el caso estacionario se reduce a

$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$

lo que corresponde a que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) por la densidad de flujo ($j_s$) es constante. Si se tienen los valores para un punto en particular, definido por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), entonces se tiene que:

$ h j_s = h_0 j_{s0} $

Nota: La ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria, ya que depende únicamente de la posición $x$ y no del tiempo $t$ en absoluto.

ID:(15107, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la conductividad hidráulica ($K_s$), el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se puede definir un largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) de la siguiente manera:

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

Condiciones

Variables

Relación

Para simplificar el análisis, hemos definido la expresión teniendo en cuenta el valor absoluto de el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) para evitar situaciones en las que este sea negativo. Esto implica que, dependiendo del signo de el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), debemos establecer la relación asumiendo una derivada positiva o negativa, lo que determina la dirección del flujo.

ID:(4747, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación diferencial para calcular la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La ecuación para el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) es la siguiente:

$ h j_s = h_0 j_{s0} $

y con la ecuación que describe la densidad de flujo ($j_s$) en términos de la conductividad hidráulica ($K_s$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$):

$$

y con la expresión para el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$):

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

podemos derivar la ecuación resultante de la siguiente manera:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

ID:(15108, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:

Esta ecuación puede resolverse analíticamente para las condiciones dadas con la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) en el borde del canal de la siguiente manera:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = \displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $

Podemos despejarla para facilitar la integración de la siguiente manera:

$h dh = \displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$

Luego, integrando con respecto a $h_0$, la altura en el origen, obtenemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =\displaystyle\frac{h_0^2}{s_0}x$

Esto nos lleva a la siguiente expresión:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

ID:(15105, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo ($j_s$) está relacionado con la conductividad hidráulica ($K_s$), la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), lo que da como resultado

Por lo tanto, con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

Con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $

Podemos calcular la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:

$ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

y utilizando

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

de esta manera, obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $

ID:(15106, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación diferencial para calcular la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en términos de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) se expresa como sigue:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $

Condiciones

Variables

$\Delta h$

Diferencia de altura o profundidad

$m$

$J_V$

Flujo

$m^3/s$

$L$

Largo del capilar

$m$

$K_s$

Permeabilidad del suelo

$m/s$

$S_t$

Sección del suelo

$m^2$

Relación

En este contexto, el signo de la pendiente es negativo, ya que la altura debe disminuir para generar el gradiente de presión necesario para mover el líquido.

ID:(4369, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:

Esta ecuación puede resolverse analíticamente para las condiciones dadas con la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) en el borde del canal de la siguiente manera:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $

Condiciones

Variables

Relación

Desarrollo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y que depende de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) es la siguiente:

$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ x_0 } $

Podemos despejarla para facilitar la integración de la siguiente manera:

$h dh = -\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$

Luego, integrando con respecto a $h_0$, la altura en el origen, obtenemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =-\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}x$

Esto nos lleva a la siguiente expresión:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $

ID:(2214, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo ($j_s$) está relacionado con la conductividad hidráulica ($K_s$), la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$), lo que da como resultado

Por lo tanto, con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $

Condiciones

Variables

$H$

Altura de la capa

$m$

$D$

Largo de la capa de suelo

$m$

$S$

Sección de la capa

$m^2$

Relación

Desarrollo

Con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }} $

Podemos calcular la densidad de flujo ($j_s$) con la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:

$ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$

y utilizando

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

de esta manera, obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ x_0 }}} $

ID:(4742, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) con el tiempo ($t$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) se expresa de la siguiente manera:

En el caso estacionario y utilizando la ecuación para la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$), al desarrollar las derivadas, obtenemos:

$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $

Condiciones

Variables

$R_{sk}$

Resistencia hidráulica de la k-esima capa

$kg/m^4s$

$R_{st}$

Resistencia hidráulica total para un sistema en serie

$kg/m^4s$

Relación

Desarrollo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) con el tiempo ($t$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) es:

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot ( h \vec{j}_s )$

en relación con

$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $

se obtiene después de reemplazar y desarrollar la derivada

$\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot(h\vec{j}_s)= K_s\vec{\nabla}\cdot(h\nabla h)=K_s(\vec{\nabla} h\cdot\vec{\nabla} h + h \nabla^2 h)$

que en el caso estacionario se reduce a

$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $

ID:(4375, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso del pozo, podemos utilizar un sistema de coordenadas polares y asumir simetría angular, lo que significa que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) depende únicamente de el radio desde el centro del pozo ($r$) y satisface la ecuación

$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $

Condiciones

Variables

$S_k$

Sección de la k-esima capa

$m^2$

$S_t$

Sección total de las capas paralelas

$m^2$

Relación

Desarrollo

Como la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) satisface

$ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $

y en coordenadas polares con el radio desde el centro del pozo ($r$) para el caso de simetría angular, tenemos

$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$

y

$\nabla^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$

obtenemos

$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$

o

$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$

con $C$ como una constante. Por otro lado, la ecuación con la conductividad hidráulica ($K_s$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$)

$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $

en coordenadas polares con simetría rotacional se reduce a

$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$

lo cual en la superficie del pozo con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) lleva al hecho de que con

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

tenemos

$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$

resultando en

$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $

.

ID:(4430, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante

Esta ecuación puede resolverse analíticamente para las condiciones dadas, con el radio del pozo de agua ($r_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) en el borde del pozo, de la siguiente manera:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $

Condiciones

Variables

$C$

Constante de la relación del capilar

$-$

$\theta_c$

Factor de relación porosidad-arcilla

$-$

$l_c$

Largo y ancho de una plaquita de arcilla

$m$

$R$

Radio de la porosidad

$m$

Relación

Desarrollo

La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es la siguiente:

$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $

Puede resolverse para facilitar la integración de la siguiente manera:

$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$

Luego, al integrar ambos lados, se obtiene la altura en la pared del pozo con la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el radio del pozo de agua ($r_0$):

$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$

Finalmente, despejando la altura de la columna de agua en el suelo ($h$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $

ID:(10593, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) está relacionado con la conductividad hidráulica ($K_s$) y en coordenadas polares con simetría angular el radio desde el centro del pozo ($r$), lo que resulta en

Así, con la solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$), y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$

Condiciones

Variables

$\Delta h$

Diferencia de altura o profundidad

$m$

$L$

Largo del capilar

$m$

$K_s$

Permeabilidad del suelo

$m/s$

$v_s$

Velocidad del flujo

$m/s$

Relación

Desarrollo

Con la solución para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) dados el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $

Podemos calcular la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) a partir de la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:

$ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $

y con la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) utilizando

$ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$

de esta manera, obtenemos:

$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$

ID:(4368, 0)