Nosotros tenemos dos ojos de modo que somos capaces de estimar distancias y tener asi una percepci n tridimensional.

Efecto de ver con dos ojos

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Para modelar debemos diagramar la situaci n que se da con las im genes en ambas retinas. Para ello estudiamos el comportamiento de dos haces en el plano formado entre objeto y las dos retinas.

Supongamos que las posiciones de la imagen en el ojo izquierdo y derecho son s_i y s_r respectivamente. Respecto del ojo, se puede definir la distancia entre el cristalino y la retina como f y la distancia entre los ojos con d. Por ltimo se puede introducir una distancia r entre el objeto un punto entre ambos cristalinos y \theta el angulo en que se esta observando.

La posici n de un objeto se percibe distinta por cada ojo. La imagen se forma en distintos puntos respecto del centro de la retina:

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De la diferencia en la posici n somos capaces de determinar la posici n que tiene el objeto respecto de nosotros.

Por similitud de los tri ngulos se puede igualar la proporci n de los tri ngulos del ojo izquierdo. En el caso del triangulo mayor los lados tienen largos F+d/2-s_l y f+D mientras que en el triangulo menor son F+d/2 y D. Por ello se tiene:

\displaystyle\frac{F+d/2-s_l}{f+D}=\displaystyle\frac{F+d/2}{D}

Por similitud de los tri ngulos se puede igualar la proporci n de los tri ngulos del ojo derecho. En el caso del triangulo mayor los lados tienen largos F-d/2-s_r y f+D mientras que en el triangulo menor son F-d/2 y D. Por ello se tiene:

\displaystyle\frac{F-d/2-s_r}{f+D}=\displaystyle\frac{F-d/2}{D}

De las ecuaciones del triangulo del ojo izquierdo y derecho se puede determinar la distancia del objeto en el plano de los ojos F. Despejando la distancia D en la ecuaci n de similitud de tri ngulos en el ojo derecho e introduciendo la en la del ojo izquierdo se obtiene:

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Nota: se puede mostrar que la suma s_r-s_l es siempre positiva.

De las ecuaciones del triangulo del ojo izquierdo y derecho se puede determinar la distancia del objeto. De esta forma se obtiene que la distancia D es igual a la distancia entre los ojos d multiplicado por la distancia entre retina y cristalino f dividido por la suma de los desplazamientos de la imagen s_r-s_l:

equation

Nota: se puede mostrar que la suma s_r-s_l es siempre positiva.

Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

equation

Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

equation

El error de la estimaci n se puede calcular empelando las ecuaciones de propagaci n de incerteza sobre la expresi n para el calculo de la distancia. Para simplificar el calculo se puede emplear la expresi n para el caso que el objeto este frente a nosotros.

Para simplificar la soluci n del modelo es recomendable evitar trabajar con el angulo \theta. Para ello se puede trabajar simplemente con los largos de las aristas del triangulo D y F formado por la distancia r y angulo \theta de la posici n del objeto.

La distancia proyectada del objeto es

equation

Dicho cambio corresponde pasar de coordenadas polares (r,\theta) a cartesianas en que la distancia D corresponde a la variable x y F a la coordenada y.

Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

equation

Tanto la distancia entre ojos d como la distancia cristalino retina f son par metros que var an poco por lo que nuestro cerebro es capaz de aprender a considerar sus efectos y minimizar su contribuci n al error de la estimaci n de la distancia. Por ello asumiremos que ambos errores son despreciables. Si ademas reemplazamos en la ecuaci n para el desplazamiento de la retina la expresi n de la distancia se obtiene una relaci n entre el error de la estimaci n y la distancia:

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Esto significa que el error aumenta con el cuadrado de la distancia.

Para volver a lo que es la distancia real r y el angulo \theta en que observamos el objeto basta con emplear la transformada inversa de coordenadas polares:

equation

Para simplificar la soluci n del modelo es recomendable evitar trabajar con el angulo \theta. Para ello se puede trabajar simplemente con los largos de las aristas del triangulo D y F formado por la distancia r y angulo \theta de la posici n del objeto.

La distancia perpendicular del Objeto es

equation

Dicho cambio corresponde pasar de coordenadas polares (r,\theta) a cartesianas en que la distancia D corresponde a la variable x y F a la coordenada y.

Si el objeto se encuentra frente a nosotros, el desplazamiento observado en el ojo sera igual pero de signo opuesto al del desplazamiento en el ojo derecho (s=s_r=-s_i). Por ello la distancia se reduce a:

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Como el ojo es de un tama o finito, la distancia m nima que podemos medir esta determinado por el desplazamiento m ximo s que se puede lograr. Si se asume que s puede llegar a un m ximo de 1.6,cm y se recuerda que f es del orden de 1.67,cm y la distancia entre ojos d es del orden 6.5,cm se obtiene que r tiene que ser superior a 3.4,cm.

Aun cuando existe una relaci n entre distancia de un objeto y el corrimiento de las imagenes en la retina no significa que nuestros ojos puedan determinar cualquier distancia. La limitante esta dada por el error que incluye la estimaci n. Si el error es demasiado grande la estimaci n puede carecer de todo sentido.

La incerteza de la posici n de la imagen en la retina se puede asumida igual a la distancia entre conos.

Si se asume una distancia entre ojos d es de 6.5,cm y una distancia cristalino retina f es de 1.67,cm se obtiene que el error en la estimaci n de la distancia varia en funci n de la distancia par.

Capacidad de resolver en la retina

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Empleando la expresi n para el calculo de la distancia del caso simple y la ecuaci n de propagaci n de errores se obtiene la expresi n:

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