mechanisms

O navio de guerra sueco Vasa um exemplo conhecido de um navio inst vel. Em 10 de agosto de 1628, apenas 20 minutos ap s deixar o estaleiro em sua viagem inaugural no porto de Estocolmo, o navio virou e afundou:

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O projeto do navio era falho, pois sua constru o estreita pretendia atingir altas velocidades e sua estrutura alta pretendia acomodar 64 canh es, um n mero significativo. No entanto, esse projeto tornou o navio intrinsecamente inst vel, levando ao seu viramento com a primeira rajada de vento.

Felizmente, o navio afundou em guas rasas e foi preservado na gua salgada por 333 anos at sua recupera o em 1961. Inicialmente, o navio foi mantido molhado e depois lentamente substitu ram a gua por uma mistura de cera que permitiu exibi-lo completamente seco em um museu a poucos metros de onde ele afundou.

O Vasa serve como um lembrete na constru o naval, demonstrando a import ncia de um design cuidadoso e estabilidade. Sua exibi o no museu uma atra o popular, atraindo visitantes de todo o mundo para ver esta not vel pe a da hist ria mar tima.

O ponto de aplica o da for a de empuxo igual ao centro de massa do volume de l quido deslocado:

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Em um barco t pico com perfil quadrado, isso corresponde a um ponto localizado na metade do calado (profundidade de submers o).

Se uma for a lateral aplicada e o objeto inclinado, pode-se observar que o ponto em que a for a de empuxo atua se desloca para fora do eixo. Desenhando uma linha vertical a partir dessa nova posi o, resulta em que a linha cruza o eixo central em um ponto conhecido como metacentro:

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A gravidade atua sobre o centro de massa, que geralmente est localizado acima do ponto de aplica o da for a de empuxo, mas pode estar acima ou abaixo do metacentro:

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Se o metacentro estiver acima do centro de massa, a for a da gravidade gera um torque que tende a estabilizar o objeto. como se o objeto estivesse suspenso no metacentro e a for a da gravidade gerasse rota es em torno dele. Quando o centro de massa est abaixo do metacentro, o torque gera uma rota o em dire o ao eixo, ou seja, tende a corrigir o tombamento, estabilizando assim o objeto:

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Se o metacentro estiver acima ou abaixo do centro de gravidade, isso pode facilmente ocorrer se uma carga for adicionada parte superior, fazendo com que o centro de massa suba, o que leva ao sistema se tornar inst vel.

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Nota: para evitar a perda de estabilidade, importante posicionar a carga em uma posi o baixa (fundo do barco).

Se o metacentro estiver abaixo do centro de massa, a for a da gravidade gera um torque que tende a desestabilizar o objeto. como se o objeto estivesse suspenso no metacentro e a for a da gravidade gerasse rota es em torno dele. Quando o centro de massa est acima do metacentro, o torque gera uma rota o afastando-o do eixo, ou seja, tende a aumentar a inclina o e, portanto, a desestabilizar o objeto:

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O modelo do casco do navio reduzido a um paralelep pedo com comprimentos de o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$), o meia largura do paralelepípedo ($b$) e la meia altura do paralelepípedo ($c$), resultando em dimens es de $2a \times 2b \times 2c$, com um calado de um rascunho de objeto ($d$):

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Um modelo comumente utilizado para barcos o de um paralelep pedo reto com comprimentos de o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$), o meia largura do paralelepípedo ($b$) e la meia altura do paralelepípedo ($c$), e um centro de massa em seu centro geom trico. Quando colocado na gua, o corpo afunda at uma profundidade de um rascunho de objeto ($d$). A posi o do centro onde a for a de flutua o atua pode ser vista na seguinte imagem, com coordenadas la ponto de altura da força de empuxo de ataque ($z_B$), la altura do centro de massa ($z_G$) e la altura do metacentro ($z_M$):

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Portanto la altura do centro de massa ($z_G$)

equation=11966

O metacentro calculado determinando o centro de massa do corpo inclinado sob a condi o de que a rea abaixo da linha de flutua o (linha azul) seja constante:

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Quando o barco est adernado, uma se o maior de gua se move de um lado e a mesma se o menor do lado oposto. O centro de massa , portanto, deslocado do centro para o setor com maior deslocamento, que calculado por

$\bar{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}$

A massa proporcional se o calculada a partir de o meia largura do paralelepípedo ($b$) e o rascunho de objeto ($d$) por:

$2b d$

Todas as massas deslocadas em ambos os lados do eixo n o contribuem para o numerador e apenas os dois tri ngulos indicados a partir de uma rea com o ângulo do calcanhar ($\phi$)

$b^2\phi$

pesar a posi o do centro de massa dos tri ngulos

$\displaystyle\frac{2b}{3}$

o que visto no gr fico:

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Portanto, a dist ncia do centro de massa da gua deslocada do eixo

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2b}{3} b^2\phi}{2bd}=\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

Se um navio adernar em o ângulo do calcanhar ($\phi$), o centro de massa da gua deslocada se move com o meia largura do paralelepípedo ($b$) e o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$) a uma dist ncia de:

$\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

Como esta dist ncia o arco do c rculo que pode ser tra ado em torno do metacentro, a dist ncia entre o metacentro e o centro de massa da gua deslocada, que corresponde ao raio, :

$\displaystyle\frac{b^2}{3d}$

Portanto, a posi o do metacentro deve levar em conta que o centro de coordenadas est na altura da superf cie da gua, que est a uma dist ncia $d/2$ acima do centro de massa da gua deslocada:

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com la altura do metacentro ($z_M$):

equation=11973

Para que o paralelep pedo seja est vel, la altura do metacentro ($z_M$) deve sempre ser maior ou igual a la altura do centro de massa ($z_G$), ou seja,

equation=11974

Portanto, com la altura do centro de massa ($z_G$) sendo o ponto de aplica o da for a de flutua o fornecida com la meia altura do paralelepípedo ($c$) e o rascunho de objeto ($d$):

equation=11966

e la altura do metacentro ($z_M$) sendo com o meia largura do paralelepípedo ($b$):

equation=11973

obtemos la condição de estabilidade de um corpo flutuante ($e$):

equation=11975

o que significa que existe uma regi o no gr fico $b/c$ (largura/profundidade) versus $d/2c$ (profundidade/altura) em que o sistema est vel, e em seu complemento, inst vel:

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Ou seja, a estabilidade alcan ada com grandes valores de $b/c$ (largura maior que calado). No caso do navio Vasa, o problema era que o navio era alto demais para sua largura. Uma solu o teria sido afundar mais ou alcan ar um valor $d/c$ mais elevado para evitar a zona de instabilidade. Por m, isso n o foi poss vel devido s aberturas dos canh es por onde teria entrado gua.

Para obter mais informa es sobre erros de compila o, consulte Por que o Vasa afundou: 10 problemas e alguns ant dotos para projetos de software, Richard E. Fairley, Mary Jane Willshire, mar o/abril de 2003 IEEE SOFTWARE, que se aplica a projetos de software.

Ao estudar os planos da Vasa, poss vel estimar os coeficientes da rela o entre a largura e altura, bem como entre o calado e a altura. A partir disso, poss vel mostrar que o navio inst vel:

image

model

Se la força de empuxo ($F_b$) e la força gravitacional ($F_g$) forem iguais, o objeto flutuar . Neste caso, isso significa que la massa de objeto flutuante ($M_s$) deve ser igual a ERROR:8663, resultando em:

kyon

Nota: esta rela o s poss vel se o objeto 'pesar menos que a gua', o que significa que a gua deslocada ocupa um volume igual ou maior que o do objeto.

La massa de objeto flutuante ($M_s$) pode ser calculado a partir de la densidade do objeto ($\rho_s$) e do volume dado pelos seus par metros geom tricos o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$), o meia largura do paralelepípedo ($b$) e la meia altura do paralelepípedo ($c$).

Portanto:

kyon

ERROR:8663 pode ser calculado a partir de la densidade líquida ($\rho_w$) e do volume dado pelos seus par metros geom tricos o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$), o meia largura do paralelepípedo ($b$) e o rascunho de objeto ($d$).

Portanto:

kyon

O volume deslocado ($V_b$) pode ser calculado a partir de seus par metros geom tricos o metade do comprimento do paralelepípedo ($a$), o meia largura do paralelepípedo ($b$) e o rascunho de objeto ($d$).

Portanto:

kyon

O princ pio de Arquimedes afirma que a massa da gua deslocada igual massa do objeto. Para o caso espec fico do paralelep pedo reto, isso pode ser expresso como la densidade do objeto ($\rho_s$), la densidade líquida ($\rho_w$), o rascunho de objeto ($d$) e la meia altura do paralelepípedo ($c$) da seguinte forma:

kyon

O ponto em que atua a for a de empuxo est localizado no centro de massa do volume de gua deslocado pelo barco. No caso de o barco n o estar inclinado (escorado), este ponto est localizado no centro do volume a meia altura do calado.

Levando isso em considera o, voc pode expressar la ponto de altura da força de empuxo de ataque ($z_B$) como uma fun o de o rascunho de objeto ($d$) como:

kyon

O ponto de aplica o da for a gravitacional corresponde ao centro do paralelep pedo que modela o casco. Se fixarmos o sistema de coordenadas sobre a superf cie da gua, la altura do centro de massa ($z_G$) ser dado subtraindo o rascunho de objeto ($d$) de la meia altura do paralelepípedo ($c$):

kyon

O c lculo de la altura do metacentro ($z_M$) a partir da dist ncia entre o metacentro e o centro de massa da gua deslocada, expressa por o meia largura do paralelepípedo ($b$) e o rascunho de objeto ($d$), realizado da seguinte forma:

kyon

Para que o objeto seja est vel, la altura do metacentro ($z_M$) deve sempre ser maior ou igual a la altura do centro de massa ($z_G$).

Portanto, deve ser:

kyon

Para um paralelep pedo retangular, la condição de estabilidade de um corpo flutuante ($e$) com o meia largura do paralelepípedo ($b$), la meia altura do paralelepípedo ($c$) e o rascunho de objeto ($d$) :

kyon

sendo maior que um no caso de uma situa o est vel e negativo no caso de instabilidade.