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Problemática de los contactos
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Si se supone que las relaciones humanas no se incrementan en función del numero total de individuo y que deben ser modeladas como subgrupos que vía algunos pocos individuo se conectan a otros grupos se tiene una estructura tipo fractal. Esto da origen a lo que se denomina un árbol fractal que no crece en proporción a los individuos totales de la red.
Para efectos de un modelo SIR o un SPC, esto corresponde a tener una serie de modelos individuales de numero total ($N$ en SIR, $\Delta N$ en SPC) constante que nacen en torno de un primer infectado ($I$) o portador ($P$). La infección o el gen se propaga en estos subgrupos en forma mas rápida por existir una mayor probabilidad de contagio/heredar y posteriormente existiendo la posibilidad de que se infecte o genere un portador en otro subgrupo.
Por ello en los modelos con subgrupos se debe
* modelar la propagación dentro del subgrupo en que se debe considerar este como acotado o de número total fijo y mucho menor que toda la sociedad
* debe existir un segundo modelo que explica la propagación de la infección o del gen de un subgrupo a otro.
ID:(8174, 0)
Implicancias para los modelos SIR
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Las ecuaciones del modelo SIR son
En el caso de los modelos de propagación de infecciones del tipo SIR se debe re interpretar el numero total $N$
| $N=S+I+R$ |
como el numero de personas que pertenece al subgrupo social y ya no como el total de la población. Como el modelo
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=-C\displaystyle\frac{I}{N}S\beta$ |
| $\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S-\gamma\right)I$ |
| $\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I$ |
, debido a la escala de tiempo en que se le empela, no tiene una componente de crecimiento de la población, puede ser empleado sin alteración para la dinámica del subgrupo.
En el caso de los modelos SIR, el factor $N$ aparece en conjunto con el numero de contactos $C$ y la probabilidad de que se contagie por tiempo $\beta$. Por ello al ajustar el modelo a datos reales no se estima $N$ en forma individual si no que el factor $C\beta/N$ y por ello irrelevante si se introduce un número de población total en vez del grupo social.
ID:(8175, 0)
Implicancias para los modelos SPC
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En el caso de los modelos SPC para subgrupos se debe considerar que en numero total de personas procreando
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
debe ser constante. Como el modelo incluye el crecimiento natural de la población, esto significa que existiran individuos que abandonen el subgrupo. Por ello las ecuaciones básicas del modelo simplificado
| $\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}\right)$ |
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$ |
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_c\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_p\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ |
deberan ser modificadas. Como el principal problema se genera por el crecimiento descrito por la ecuación para los sanos $S$ se puede reemplazar esta por la ecuación de totales escrita de la forma
$\Delta S=\Delta N - \Delta P - \Delta C$
y reemplazar esta ecuación en las para los portadores y casos.
ID:(8176, 0)
Subgroup equation for cases
Equation
En en el caso de los casos la ecuación no depende de $\Delta S$
| $\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_c\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_p\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ |
por lo que se aplica solo asumiendo que el $\Delta N$ es constante.
ID:(8178, 0)
Ecuación de subgrupo para portadores
Equation
Si se considera la ecuación para portadores
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$ |
y se reemplaza $\Delta S$ con la expresión que se obtiene de
| $\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$ |
se llega a la ecuación para potadores
| $\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\Delta P\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta N}-\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}\right)+K_p\Delta C\left(1-\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}\right)$ |
ID:(8179, 0)
Simulación
Html
Adecuando las ecuaciones del modelo SPC de modo que el numero de personas procreando es constante escalando las poblaciones de sanos y portadores se puede observar que tanto portadores como casos brotan hasta superar los sanos.
ID:(8180, 0)