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Parabola, con punto fijo
Descripción 
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Cálculos
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a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
Ejemplos
Para ajustar datos $(x_i,y_i)$ a una par bola del tipo
$y=ax^2+bx+c$
un un punto fijo $(x_0,y_0)$ se puede escribir como
$y=y_0+a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0)$
Por ello el factor $c$ debe ser
$c=y_0-ax_0^2-bx_0$
mientras que los valores $a$ y $b$ deben ser tal que la diferencia de los cuadrados
| $\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$ |
sea un m nimo.
(ID 8748)
Si se tiene una serie
| $ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$ |
(ID 8847)
Si se deriva
| $\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$ |
respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:
$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}
+S_{x3})=0$
donde
| $ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$ |
en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.
Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:
$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$.
La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es
| $a=\displaystyle\frac{((NS_{x2}-S_x^2)x_0^2+(S_xS_{x2}-NS_{x3})x_0+S_xS_{x3}-S_{x2}^2)y_0+(S_xS_y-NS_{xy})x_0^3+(-2S_{x2}S_y+S_xS_{xy}+NS_{x2y})x_0^2+(S_{x3}S_y+S_{x2}S_{xy}-2S_xS_{x2y})x_0-S_{x3}S_{xy}+S_{x2}S_{x2y}}{(NS_{x2}-S_x^2)x_0^4+(2S_xS_{x2}-2NS_{x3})x_0^3+(NS_{x4}+2S_xS_{x3}-3S_{x2}^2)x_0^2+(2S_{x2}S_{x3}-2S_xS_{x4})x_0+S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
(ID 8749)
Para el caso especial que la parabola pasa por el origen $x_0=0$ y $y_0=0$ con lo que la expresi n
| $a=\displaystyle\frac{((NS_{x2}-S_x^2)x_0^2+(S_xS_{x2}-NS_{x3})x_0+S_xS_{x3}-S_{x2}^2)y_0+(S_xS_y-NS_{xy})x_0^3+(-2S_{x2}S_y+S_xS_{xy}+NS_{x2y})x_0^2+(S_{x3}S_y+S_{x2}S_{xy}-2S_xS_{x2y})x_0-S_{x3}S_{xy}+S_{x2}S_{x2y}}{(NS_{x2}-S_x^2)x_0^4+(2S_xS_{x2}-2NS_{x3})x_0^3+(NS_{x4}+2S_xS_{x3}-3S_{x2}^2)x_0^2+(2S_{x2}S_{x3}-2S_xS_{x4})x_0+S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
se reduce a
| $a=\displaystyle\frac{S_{x2}S_{x2y}-S_{x3}S_{xy}}{S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
(ID 8845)
Si se deriva
| $\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$ |
respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuaci n:
$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$
donde
| $ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$ |
en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el n mero.
Si se repite la operaci n para $b$ se obtiene la ecuaci n:
$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_x2
+S_x3)=0$
La soluci n de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es
| $b=-\displaystyle\frac{((NS_{x3}-S_xS_{x2})x_0^2+(S_{x2}^2-NS_{x4})x_0+S_xS_{x4}-S_{x2}S_{x3})y_0+(S_xS_y-NS_{xy})x_0^4+(NS_{x2y}-S_{x2}S_y)x_0^3+(-S_{x3}S_y+2S_{x2}S_{xy}-S_xS_{x2y})x_0^2+(S_{x4}S_y-S_{x2}S_{x2y})x_0-S_{x4}S_{xy}+S_{x2y}S_{x3}}{(NS_{x2}-S_x^2)x_0^4+(2S_xS_{x2}-2NS_{x3})x_0^3+(NS_{x4}+2S_xS_{x3}-3S_x2^2)x_0^2+(2S_{x2}S_{x3}-2S_xS_{x4})x_0+S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
(ID 8750)
Para el caso especial que la parabola pasa por el origen $x_0=0$ y $y_0=0$ con lo que la expresi n
| $b=-\displaystyle\frac{((NS_{x3}-S_xS_{x2})x_0^2+(S_{x2}^2-NS_{x4})x_0+S_xS_{x4}-S_{x2}S_{x3})y_0+(S_xS_y-NS_{xy})x_0^4+(NS_{x2y}-S_{x2}S_y)x_0^3+(-S_{x3}S_y+2S_{x2}S_{xy}-S_xS_{x2y})x_0^2+(S_{x4}S_y-S_{x2}S_{x2y})x_0-S_{x4}S_{xy}+S_{x2y}S_{x3}}{(NS_{x2}-S_x^2)x_0^4+(2S_xS_{x2}-2NS_{x3})x_0^3+(NS_{x4}+2S_xS_{x3}-3S_x2^2)x_0^2+(2S_{x2}S_{x3}-2S_xS_{x4})x_0+S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
se reduce a
| $b=\displaystyle\frac{S_{x4}S_{xy}-S_{x2y}S_{x3}}{S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$ |
(ID 8846)
ID:(618, 0)