Algoritmo

Storyboard

>Model

ID:(1032, 0)



Particulas en la Celda

Equation

>Top, >Model


En este caso se modela una sección de alto $\Delta z$ y ancho $d$ de una sustancia que difunde con una constante de difusión $D$. Si el perimetro es dividido en celdas de largo $\Delta s$ se pueden introducir concentracioens $c_i$ en la celda $i$. Dicha celta tendrá un número de particulas $N_i$ igual a

$N_k=c_k\Delta z \Delta s\,d$

ID:(8469, 0)



Difusión entre Celdas

Equation

>Top, >Model


Si la concentración en la celda $i$ es $c_i$ y en la celta $i+1$ es $c_{i+1}$ existirá un flujo de $i$ a $i+1$ igual a

$J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$

en donde $D$ es la constante de difusión, $\Delta s$ el largo de la celda y $d$ el ancho del canal.

ID:(8468, 0)



Ecuación de Difusión discretizada

Equation

>Top, >Model


La ecuación de difusión estima la variación de la concnetración $c$ en función del

$N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+(J_{k,k-1}-J_{k+1,k})\Delta t$

ID:(8470, 0)



Ecuación de Difusión sin GluT

Equation

>Top, >Model


Si se reemplaza en la ecuación de difusión

$N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+(J_{k,k-1}-J_{k+1,k})\Delta t$



el flujo

$J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$



y luego la concentración

$N_k=c_k\Delta z \Delta s\,d$



se obtiene la ecuación sin flujo de GluT por las paredes de la cavidad

$N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$

ID:(8471, 0)



Flujo por el Endotelio

Equation

>Top, >Model


En el caso del endotelio, el GluT es del tipo 1 por lo que los parámetros de saturación son $j_{1i}$, $j_{1o}$, $c_{1i}$ y $c_{1o}$.

La concentración en el interior es la del lumen $c_l$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_l$ en un cilindro de radio $R_l$ y altura $\Delta z$

$c_l=\displaystyle\frac{N_l}{\Delta z\pi R_l^2}$

mientras que en la membrana basal en la celda $k$ es

$c_k=\displaystyle\frac{N_{ek}}{\Delta z\Delta s d_e}$

donde $N_{ek}$ es el número de partículas en la membrana basal que tiene un ancho $d_e$, un segmento $\Delta s$ y alto $\Delta z$.

Como el flujo es

$J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$



se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es



$J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$

ID:(8473, 0)



Flujo por el Astrocito

Equation

>Top, >Model


En el caso del astrocito, el GluT es del tipo 1 por lo que los parámetros de saturación son $j_{1i}$, $j_{1o}$, $c_{1i}$ y $c_{1o}$.

La concentración en el interior es la de la membrana basal $c_e$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_{ek}$ en una celda $k$ de ancho $d_e$, largo $\Delta s$ y alto $\Delta z$

$c_{ek}=\displaystyle\frac{N_{ek}}{\Delta z\Delta s d_e}$

mientras que en la cavidad entre el astrocito y neurona en la celda $k$ es

$c_{ak}=\displaystyle\frac{N_{ak}}{\Delta z\Delta s d_a}$

donde $N_{ak}$ es el número de partículas en dicha cavidad.

Como el flujo es

$J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$



se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es

$J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$

ID:(8474, 0)



Flujo hacia la Neurona

Equation

>Top, >Model


En el caso de la neurona, el GluT es del tipo 3 por lo que los parámetros de saturación son $j_{3i}$, $j_{3o}$, $c_{3i}$ y $c_{3o}$.

La concentración en el interior es la de la cavidad entre astrocito y neurona $c_a$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_{ak}$ en una celda $k$ de ancho $d_a$, largo $\Delta s$ y alto $\Delta z$

$c_{ak}=\displaystyle\frac{N_{ak}}{\Delta z\Delta s d_a}$

mientras que en la neurona es

$c_n=\displaystyle\frac{N_n}{\Delta z\Delta s d_n}$

donde $N_n$ es el número de partículas en la neurona.

Como el flujo es

$J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$



se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es

$J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$

ID:(8475, 0)



Flujo por el Hatch

Equation

>Top, >Model


En el caso del hatch se tiene un flujo tipo difusión

$J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$



en que hat que considerar las concentraciones en la membrana basal en la celda $0$

$\displaystyle\frac{N_{e,0}}{\Delta s\Delta z d_e}$

la concentración en la cavidad entre astrocity y neurona

$\displaystyle\frac{N_{a,0}}{\Delta s\Delta z d_a}$

el largo $s_h$ y el ancho $d_h$ del hatch con lo que resulta

$J_h=D\displaystyle\frac{s_h}{d_h\Delta s}\left(\displaystyle\frac{N_{e,0}}{d_e}-\displaystyle\frac{N_{a,0}}{d_a}\right)$

ID:(8478, 0)



Ecuación de Difusión en la Membrana Basal

Equation

>Top, >Model


Si se reemplaza en la ecuación de difusión

$N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$



y los flujos hacia la membrana

$J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$



y saliendo de esta

$J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$



se obtiene la ecuación con flujo de GluT por la membrana basal

$N_{e,k}(t+\Delta t) = N_{e,k}(t)+(D\displaystyle\frac{(N_{e,k+1}+N_{e,k-1}-2N_{e,k})}{\Delta s^2} + J_{ek} - J_{ak})\Delta t$

ID:(8476, 0)



Ecuación de Difusión en la Cavidad entre Astrocito y Neurona

Equation

>Top, >Model


Si se reemplaza en la ecuación de difusión

$N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$



y los flujos hacia la membrana

$J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$



y saliendo de esta

$J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$



se obtiene la ecuación con flujo de GluT por la membrana basal

$N_{a,k}(t+\Delta t) = N_{a,k}(t)+(D\displaystyle\frac{(N_{a,k+1}+N_{a,k-1}-2N_{a,k})}{\Delta s^2} + J_{ak} - J_{nk})\Delta t$

ID:(8477, 0)



Limite estacioanrio Membrana Basal sin Hatch

Description

>Top


En el caso estacionario sin hatch no existe difusión perimetral y los flujos radiales totales tanto en la membrana basal como en la intermedia deben ser cero. Por ello se tiene que

$J_{e,k}-J_{e,k}=0$

y

$J_{a,k}-J_{n,k}=0$

Como

$J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$



$J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$



y

$J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$



se tiene que el número de moleculas de glucosa en un largo $\Delta z$ es

$N_{e,k}=\displaystyle\frac{N_nR_l^2c_{1i}c_{1o}c_{3o}d_ej_{1i}j_{3i}\pi+\Delta sN_lc_{1i}^2c_{3i}d_ed_nj_{1o}j_{3o}+\Delta sN_lc_{1i}c_{3i}c_{3o}d_ed_nj_{1i}j_{1o}}{j_{3o}(R_l^2c_{1i}^2c_{3i}d_nj_{1o}\pi+R_l^2c_{1i}c_{1o}c_{3i}d_nj_{1i}\pi)+R_l^2c_{1o}c_{3i}c_{3o}d_nj_{1i}^2\pi)}$

ID:(8548, 0)



Modelo GluT

Equation

>Top, >Model


Si el flujo por un transportador desde el lado interior al exterior es

$J=J_i\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}$

donde $J_i$ es el flujo saturado desde el interior, $c_{si}$ la concentración de saturación desde el interior y $c_i$ la concentración del interior.

Si el flujo por un transportador desde el lado exterior al interior es

$J=J_o\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}$

donde $J_o$ es el flujo saturado desde el exterior, $c_{so}$ la concentración de saturación desde el exterior y $c_o$ la concentración del exterior.

Por ello el flujo total es

$J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$

ID:(8472, 0)



Limite estacionario Membrana Intermedia sin Hatch

Description

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En el caso estacionario sin hatch no existe difusión perimetral y los flujos radiales totales tanto en la membrana basal como en la intermedia deben ser cero. Por ello se tiene que

$J_{e,k}-J_{e,k}=0$

y

$J_{a,k}-J_{n,k}=0$

Como

$J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$



$J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$



y

$J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$



se tiene que el número de moleculas de glucosa en un largo $\Delta z$ en la membrana intermedia es

$N_{e,k}=\displaystyle\frac{(j_{3i}(N_nR_l^2c_{1i}^2c_{1o}c_{3o}d_aj_{1o}\pi+N_nR_l^2c_{1i}c_{1o}^2c_{3o}d_aj_{1i}\pi)+\Delta sN_lc_{1i}^2c_{3i}c_{3o}d_ad_nj_{1o}^2}{j_{3o}(R_l^2c_{1i}^2c_{1o}c_{3i}d_nj_{1o}\pi+R_l^2c_{1i}c_{1o}^2c_{3i}d_nj_{1i}\pi)+R_l^2c_{1o}^2c_{3i}c_{3o}d_nj_{1i}^2\pi)}$

ID:(8549, 0)