Benützer:
Lösen von Problemen mit Gleichungsnetzwerken
Storyboard 
Modelle werden in Form von Netzwerken von Gleichungen dargestellt, wobei die verschiedenen Knoten die Variablen des Systems repräsentieren.
Eine der Herausforderungen beim Lösen von Problemen in der Physik besteht darin, dass nur Gleichungen verwendet werden können, die für die bestehenden Bedingungen des analysierten Problems gültig sind. Das Modell selbst wird basierend auf allen Gleichungen definiert, die für die untersuchte Situation gültig sind. Daher gewährleistet die Verwendung des Modells, dass nur Gleichungen verwendet werden, die der untersuchten Situation entsprechen.
Durch Bildung der verschiedenen Gleichungen des Modells mithilfe seiner Variablen wird ein Netzwerk etabliert, um die Strategie für die Problemlösung zu bestimmen. Dieses Netzwerk ermöglicht die direkte Identifizierung von Zwischenvariablen, die berechnet werden können, und definiert somit die erforderlichen Variablen und die Reihenfolge, in der Zwischenvariablen berechnet werden müssen, bis die gewünschten Variablen erhalten werden.
Letztendlich werden die Risiken von Rechenfehlern durch die Auswahl des geeigneten Modells und die Zuordnung der gegebenen Parameter zu den Variablen des Modells reduziert.
ID:(1932, 0)
Gleichung: der zurückgelegte Weg
Bild
Die Gleichung des zurückgelegten Weges
$\Delta s = s - s_0$
Es kann als (Hellblauer) Knoten dargestellt werden, der den Knoten der zurückgelegten Weges variablen $\Delta s$, der Anfangsposition $s_0$ und der Endposition zugeordnet ist:
Gleichung des zurückgelegten Weges
Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.
ID:(14379, 0)
Gleichung: die verstrichene Zeit
Bild
Die Gleichung für die verstrichene Zeit
$\Delta t = t - t_0$
Es kann als (Himmels-)Knoten dargestellt werden, der den Knoten der Variablen der verstrichenen Zeit $\Delta t$, der Anfangszeit $t_0$ und der Endzeit zugeordnet ist:
Gleichung für die verstrichene Zeit
Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.
ID:(14380, 0)
Gleichung: die Geschwindigkeit
Bild
Die Geschwindigkeitsgleichung
$v = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$
Es kann als (Himmels-)Knoten dargestellt werden, der den Knoten der Geschwindigkeitsvariablen $v$, dem zurückgelegten Weg $\Delta s$ und der verstrichenen Zeit $\Delta t$ zugeordnet ist:
Geschwindigkeitsgleichung
Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.
ID:(14381, 0)
Gleichung: der Position
Bild
Mit den bereits eingegebenen drei Gleichungen kann eine vierte Gleichung aufgestellt werden, die jederzeit die Berechnung der Position ermöglicht
$s = s_0 + v(t - t_0)$
der auch als (Himmels-)Knoten dargestellt werden kann, der den Knoten der Variablen Position $s$, Anfangsposition $s_0$, Geschwindigkeit $v$, Anfangszeit $t_0$ und Endzeit $t$ zugeordnet ist:
Positionsgleichung
Bilder der LEGO-Steine einschließlich der Darstellung der Gleichung sind enthalten.
ID:(14382, 0)
Das Netzwerk bilde
Bild
Wenn alle Gleichungen mit ihren jeweiligen Graphen gezeichnet werden, ist ersichtlich, dass es gemeinsame Variablen gibt, die integriert werden können.
Es ist wichtig, dass jede Variable nur einmal repräsentiert durch ihren Knoten (Weiss) vorkommt
Das Netzwerk bilden
ID:(14383, 0)
Das Netzwerk
Bild
Sobald die gemeinsamen Variablen integriert sind, wird das Netzwerk erhalten, das das Modell darstellt.
In diesem Fall ist das Modell einfach, es besteht nur aus 4 Gleichungen (hellblauer knoten), die durch 7 Variablen (weiße Knoten) miteinander verbunden sind.
Das Modell Netzwerk
Ein komplexeres Modell kann mehrere Gleichungen und Variablen haben. Alle sind miteinander verbunden und bilden ein einziges Netzwerk.
ID:(14384, 0)
Zu berechnende Variablen
Bild
Im Prinzip kann jede Variable im Modell berechnet werden. In diesem speziellen Fall:
| $s$ | Wie weit werden wir gehen? |
| $s_0$ | Wie weit weg fangen wir an? |
| $\Delta s$ | Welchen Weg sind wir gegangen? |
| $t$ | Wann werden wir ankommen? |
| $t_0$ | Wann fahren wir los? |
| $\Delta t$ | Wie lange sind wir gereist? |
| $v$ | Wie schnell reisen wir? |
Wenn wir die Ankunftszeit berücksichtigen, können wir den entsprechenden Knoten im Modellnetzwerk rot markieren:
Das Modellnetz zur Berechnung der Ankunftszeit.
Wenn wir das Netzwerk konsultieren, beobachten wir sofort die zugehörigen Knoten, die den Gleichungen entsprechen, die zur Berechnung der Variablen verwendet werden können. In diesem Fall wurden sie blau markiert und entsprechen den Gleichungen
$s = s_0 + v(t - t_0)$
Und
$\Delta t = t - t_0$
ID:(14385, 0)
Gegebenen Variablen
Bild
Um eine bestimmte Variable zu berechnen, müssen wir zunächst die Variablen bestimmen, deren Werte uns gegeben werden.
Um die Interpretation zu erleichtern, können die Knoten der gegebenen Variablen mit einer anderen Farbe (hellgrün) markiert werden.
Das Netzwerk des Modells mit den gegebenen Variablen und der zu berechnenden Variablen.
Auf diese Weise ist leicht zu erkennen, dass die gewählte Variable nicht berechnet werden kann, da beide zugehörigen Gleichungen Variablen darstellen, deren Werte wir nicht kennen (weiße Knoten).
Die allgemeine Regel ist
Eine Variable (weißer Knoten) kann nur berechnet werden, wenn alle anderen Knoten einer Gleichung (hellblauer Knoten) gegeben sind (hellgrüne Knoten). Im Allgemeinen darf es nicht mehr als einen weißen Knoten geben.
ID:(14386, 0)
Lösungsstrategie über Endposition
Bild
Die gesuchte Variable (roter Knoten) kann nicht berechnet werden, da in den beiden zugehörigen Gleichungen weitere unbekannte Variablen (weiße Knoten) vorhanden sind.
Es ist jedoch möglich, diese mit anderen Netzwerkgleichungen zu berechnen. Dazu nehmen wir zum Beispiel die Variable $s$, die sich mit der Gleichung des zurückgelegten Weges berechnen lässt:
Lösung über die Zwischenvariable Endlage.
Jedes Mal, wenn wir eine Gleichung identifizieren, die nur eine Unbekannte (weißer oder roter Knoten) hat, können wir diese Gleichung verwenden, um diesen Wert zu berechnen. Um die Interpretation zu erleichtern, können wir der berechneten Variable eine Farbe (orange) geben.
Damit können wir die Regel verallgemeinern:
Eine Variable (weißer oder roter Knoten) kann nur dann mit einer Gleichung (hellblauer Knoten) berechnet werden, wenn alle anderen Variablen bekannt sind (hellgrüne oder orangefarbene Knoten).
Die zusätzlich zur Suchvariable berechnete Variable wird als Zwischenvariable bezeichnet.
ID:(14387, 0)
Lösungsstrategie über Reisezeit
Bild
Die gesuchte Variable (roter Knoten) kann nicht berechnet werden, da in den beiden zugehörigen Gleichungen weitere unbekannte Variablen (weiße Knoten) vorhanden sind.
Es ist jedoch möglich, diese mit anderen Netzwerkgleichungen zu berechnen. Dazu nehmen wir zum Beispiel die Variable $\Delta t$, die sich mit der Gleichung des zurückgelegten Weges berechnen lässt:
Lösung über die Zwischenvariable Fahrzeit.
Jedes Mal, wenn wir eine Gleichung identifizieren, die nur eine Unbekannte (weißer oder roter Knoten) hat, können wir diese Gleichung verwenden, um diesen Wert zu berechnen. Um die Interpretation zu erleichtern, können wir der berechneten Variable eine Farbe (orange) geben.
Damit können wir die Regel verallgemeinern:
Eine Variable (weißer oder roter Knoten) kann nur dann mit einer Gleichung (hellblauer Knoten) berechnet werden, wenn alle anderen Variablen bekannt sind (hellgrüne oder orangefarbene Knoten).
Die zusätzlich zur Suchvariable berechnete Variable wird als Zwischenvariable bezeichnet.
ID:(14388, 0)