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Serie de Fourier
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ID:(1921, 0)


Serie de Fourier
Descripción

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Unidades MKS

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
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 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Toda funci n temporal x(t) se puede expresar como una serie de Fourier, es decir una suma de funciones trigonom tricas de una frecuencia base y sus arm nicos:

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$

(ID 14342)

La frecuencia base
u_k de la serie de Fourier se define en funci n del tiempo T de la serie temporal x(t):

$ \nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T }$

(ID 14343)

Para calcular el coeficiente a_k de la serie

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se debe integrar la funci n x(t) ponderada por el coseno de la frecuencia correspondiente:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$

(ID 14347)

Para calcular el coeficiente b_k de la serie

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se debe integrar la funci n x(t) ponderada por el seno de la frecuencia correspondiente:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $

(ID 14348)

Para estimar la integral

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt$



se puede discretizar la funci n x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

(ID 14349)

Para estimar la integral

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt $



se puede discretizar la funci n x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t )$

(ID 14350)

Los coeficientes de la transformada de Fourier

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



pueden ser reagrupados como un numero complejo definiendo

$ X_k = a_k - i b_k $

(ID 14352)

La transformada de Fourier

$ x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )$



se puede con la relaci n de Euler

$ e^{i \theta } = \cos \theta + i\sin \theta $



la definici n

$ X_k = a_k - i b_k $



y la descreticaci n del tiempo

$ t_n = n \Delta t $



redefinir como las trasformada discreta en el espacio complejo de la serie temporal x_n igual a

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

(ID 14351)

Para calcular el coeficiente X_k de la serie

$ x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$



se debe integrar la funci n x(t) ponderada por el coseno de la frecuencia correspondiente:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$

(ID 14353)

Para estimar la integral

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt$



se puede discretizar la funci n x(t) y reemplazar la integral por una suma:

$ X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }$

(ID 14354)

Si el coeficiente complejo es

$ X_k = a_k - i b_k $



su magnitud se define como

$ r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2}$

(ID 14355)

Si el coeficiente complejo es

$ X_k = a_k - i b_k $



la fase se puede calcular de

$ \phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k }$

(ID 14356)

ID:(1921, 0)