(ID 15292)

(ID 15350)

Si une surface liquide avec une tension de surface $\sigma$ pr sente une courbure avec un rayon $r$, la pression g n r e dans la direction de la surface est donn e par

$ p \equiv\displaystyle\frac{2 \sigma }{ r }$

.

(ID 4484)

Les mol cules l'int rieur d'un liquide subissent des attractions gales envers toutes leurs voisines. Cela a pour cons quence que les forces globalement exerc es s'annulent mutuellement, faisant en sorte que la mol cule se comporte comme une particule libre.

Cependant, la situation est diff rente pour les mol cules la surface. tant donn qu'il y a plus de mol cules l'int rieur du liquide g n rant une force effective vers l'int rieur, cela emp che les mol cules la surface de quitter le liquide.

La force d crite dans la section pr c dente donne naissance ce que l'on appelle la ERROR:tension superficielle. Cette tension superficielle cr e une sorte de membrane la surface, ce qui permet certains insectes de se d placer sur celle-ci sans couler. Par exemple, la patte de l'araign e sur l'image ne p n tre pas la surface, vitant ainsi de couler.

La tension superficielle est galement responsable de la forme des gouttes d'eau. L'attraction entre les mol cules tend faire en sorte que la goutte ait la plus petite surface possible, ce qui signifie qu'elle cherchera adopter une forme sph rique. Cela fait qu'un jet d'eau a tendance se briser en gouttes, et ces gouttes ont tendance tre sph riques ou fluctuer autour de cette forme.

(ID 1551)

Le travail efficace ($W$) est gal l'int grale de a pression ($p$) par rapport le volume ($V$) de $V_1$ $V_2$. Cela repr sente le travail effectu par la machine, qui peut tre exprim comme suit :

$ W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p\,dV$

(ID 10253)

tant donn que le travail est

$ \delta W = p dV $

il peut tre repr sent sur un graphique pression-volume comme la zone sous la courbe de pression en fonction du volume :

Cette zone repr sente le travail obtenu lorsque un gaz effectue un travail en s'expansant du volume $V_1$ au volume $V_2$.

G n ralement, ce processus est r alis en chauffant le syst me, ce qui le fait s' tendre et effectuer le travail. Un exemple serait un piston avec du gaz chauff dans une chaudi re.

(ID 10266)

Pour r p ter le processus, il est n cessaire de revenir du volume $V_2$ au volume $V_1$, ce qui signifie suivre une courbe dans le diagramme pression-volume dans le sens inverse :

Cela repr sente un travail investir, que nous devons fournir pour r p ter le cycle.

G n ralement, ce processus est r alis en refroidissant le syst me, ce qui le fait se contracter. L' nergie investir correspond la chaleur retir e du syst me.

(ID 10254)

Lorsque le volume est contract de $V_2$ $V_1$, de l' nergie doit tre fournie la machine, repr sent e par

$\displaystyle\int_{V_2}^{V_1}p_{inv}dV=-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{inv}dV$

La n cessit de fournir cette nergie se refl te dans le signe de l'int grale.

(ID 10255)

Le travail net obtenu est la diff rence entre le travail obtenu et le travail n cessaire pour compl ter le cycle :

(ID 10268)

Le travail total est calcul en int grant sur l'ensemble du cycle, c'est- -dire la partie o le travail est effectu

$ W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p\,dV$

et la partie o le processus est invers

$\displaystyle\int_{V_2}^{V_1}p_{inv}dV=-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{inv}dV$

ce qui se traduit par une soustraction. Ce processus cyclique est repr sent math matiquement par une int grale avec un cercle et correspond la somme des l ments sous la courbe chaque tape :

$\displaystyle\oint_C p\,dV=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{dir}\,dV-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{inv}\,dV$

(ID 10256)

Une mani re simple de mod liser une machine thermodynamique consiste supposer qu'elle fonctionne de mani re isotherme et adiabatique.

$ W =\displaystyle\oint_C T dS $

Cela peut tre repr sent dans l'espace temp rature versus entropie, o l'on observe deux segments isothermes et deux segments adiabatiques :

(ID 10257)

tant donn que le travail g n r par la machine thermodynamique est gal

$\displaystyle\oint_C p\,dV=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{dir}\,dV-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}p_{inv}\,dV$

et que la premi re loi de la thermodynamique est

$ dU = \delta Q - p dV $

il s'ensuit que

$\displaystyle\oint_C p dV=\displaystyle\oint_C (\delta Q -dU)$

Par cons quent, le travail est gal

$\delta W=\displaystyle\oint_C (\delta Q -dU)$

(ID 10258)

Puisque le travail est gal

$\delta W=\displaystyle\oint_C (\delta Q -dU)$

on peut en d duire, conform ment la deuxi me loi de la thermodynamique

$ \delta Q = T dS $

que cela peut s'exprimer comme

$\delta W=\displaystyle\oint_C (TdS -dU)$

(ID 10259)

A efficacité ($\eta$) est une fonction de le chaleur fournie ($Q_H$) et le chaleur absorbée ($Q_C$), donn e par :

$ \eta = 1-\displaystyle\frac{ Q_C }{ Q_H } $

Nous pouvons exprimer le chaleur fournie ($Q_H$) en termes de a basse température ($T_C$), a faible entropie ($S_C$), et a haute entropie ($S_H$) comme suit :

$ Q_C = T_C ( S_H - S_C ) $

Et en utilisant a température haute ($T_H$) comme suit :

$ Q_H = T_H ( S_H - S_C ) $

Si nous substituons ces expressions, nous obtenons :

$ \eta = 1 - \displaystyle\frac{ T_C }{ T_H } $

(ID 10260)

L'int grale dans le mod le simplifi ,

$ W =\displaystyle\oint_C T dS $

peut tre estim e facilement en utilisant la formule de l'aire, en multipliant la hauteur par la base de la surface qui repr sente le travail :

$ W = ( T_H - T_C )( S_H - S_C )$

(ID 10261)

tant donn que a efficacité ($\eta$) avec le travail efficace ($W$) et le chaleur fournie ($Q_H$) est

$ \eta \equiv \displaystyle\frac{ W }{ Q_H } $

il peut tre remplac par le travail efficace ($W$) qui, avec le chaleur fournie ($Q_H$) et le chaleur absorbée ($Q_C$), donne

$ W = Q_H - Q_C $

fournissant la relation suivante :

$ \eta = 1-\displaystyle\frac{ Q_C }{ Q_H } $

(ID 10262)

La chaleur extraire pour r tablir le syst me est calcul e directement en int grant l'entropie dans

$ W =\displaystyle\oint_C T dS $

de $S_H$ $S_L$.

$ Q_C = T_C ( S_H - S_C )$

(ID 10263)

Puisque le différentiel de travail inexact ($\delta W$) est d fini en fonction de a pression ($p$) et a variation de volume ($\Delta V$) comme suit :

$ \delta W = p dV $

Nous pouvons calculer le travail efficace ($W$) en int grant le long des courbes du diagramme du cycle :

$W = \displaystyle\oint pdV$

En utilisant le premier principe de la thermodynamique avec le différentiel d'énergie interne ($dU$) et le différence de chaleur inexacte ($\delta Q$) :

$ dU = \delta Q - \delta W $

Et en tenant compte du parcours dans le diagramme de a température absolue ($T$) et a entropie ($S$), nous obtenons avec a variation d'entropie ($dS$) :

$W = \displaystyle\oint pdV =\displaystyle\oint (\delta Q - dU) = \displaystyle\oint (TdS - dU) = \displaystyle\oint TdS - \displaystyle\oint dU$

tant donn que l'int grale le long d'un chemin ferm d'une diff rentielle exacte est gale z ro, nous avons :

$ W = \displaystyle\oint T dS$

(ID 10264)

Si nous d finissons l'efficacit comme

$ \eta =\displaystyle\frac{ W }{ Q_H }$

et utilisons l'expression du travail

$ W = ( T_H - T_C )( S_H - S_C )$

et de la chaleur fournie

$ Q_H = T_H ( S_H - S_C )$

nous obtenons la relation de l'efficacit en fonction de la temp rature, connue sous le nom d'efficacit de Carnot.

$ \eta =1-\displaystyle\frac{ T_C }{ T_H }$

Il est important de se rappeler que nous traitons de la temp rature absolue et, selon la deuxi me loi de la thermodynamique, l'efficacit sera toujours inf rieure un. En d'autres termes, il y aura toujours une perte de chaleur, repr sentant de l' nergie non utilis e.

(ID 10265)

Un mod le plus r aliste peut tre d velopp en utilisant un gaz id al, o :

Il s' tend d'un volume $V_1$ $V_2$ de mani re isotherme une temp rature $T_H$.
Ensuite, il continue s' tendre d'un volume $V_2$ un volume $V_3$ de mani re adiabatique, en refroidissant de la temp rature $T_H$ $T_C$.
Ensuite, il se contracte de mani re isotherme d'un volume $V_3$ un volume $V_4$ tout en maintenant une temp rature de $T_C$.
Enfin, il continue se contracter d'un volume $V_4$ un volume $V_1$ de mani re adiabatique, en se r chauffant de la temp rature $T_C$ $T_H$.
Cela est r sum dans le graphique suivant :

Le processus effectue un travail au point 1 via la route 2 3, tandis que le travail doit tre effectu partir du point 3 via la route 4 1. Cela est r alis en fournissant de la chaleur dans la premi re tape et en extrayant de la chaleur dans la deuxi me.

(ID 10267)