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Estadística de Maxwell-Boltzmann

Storyboard

>Modell

ID:(501, 0)

Klassische Partition Funktion

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso de la distribución Maxwell Boltzmann la función partición clásica es\\n\\n

$Z_{MB}=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots}\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!\ldots}e^{-\beta(\epsilon_1+\epsilon_2+\ldots}$

con la condición de que con

$N =\displaystyle\sum_ r n_r$

\\n\\nSi observamos la función partición notaremos que corresponde a una serie binomial por lo que\\n\\n

$Z_{MB}=(e^{-\beta\epsilon_1}+e^{-\beta\epsilon_2}+\ldots)^N$

por lo que con

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

ID:(3736, 0)

Logaritmo de la función partición de un gas ideal

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso de una partícula libre de masa m su energía corresponde a la energía cinética\\n\\n

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2$

donde v es la velocidad.

Como la función partición es con beta $1/J$ , energía de la partícula en el estado $r$ $J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ und numero de partículas $-$

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

la función partición en este caso es con beta $1/J$ , energía de la partícula en el estado $r$ $J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ und numero de partículas $-$

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_{ v_r }e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ID:(9588, 0)

Logaritmo de la función partición en el limite continuo

Gleichung

>Top, >Modell

En el limite continuo la suma se puede reemplazar por la integral sobre las velocidades\\n\\n

$\displaystyle\sum_{v_r}\rightarrow\displaystyle\int d^3v_r$

la función partición es con beta $1/J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und velocidad de la partícula $r$ $m/s$

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_{ v_r }e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

por lo que con beta $1/J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und velocidad de la partícula $r$ $m/s$ es

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\int d^3 v_r e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ID:(9589, 0)

Ideale Gasgeschwindigkeitsverteilung

Gleichung

>Top, >Modell

Del logaritmo de la función partición con beta $1/J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und velocidad de la partícula $r$ $m/s$

$\ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\int d^3 v_r e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

se puede ver que la distribución de las partículas en la velocidad debe ser con beta $1/J$ , función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ und velocidad de la partícula $r$ $m/s$ de la forma

$f ( \vec{v} )d \vec{v} =\displaystyle\frac{e^{- \beta m v ^2/2}d \vec{v} }{\displaystyle\int d^3 v e^{- \beta m v ^2 /2}}$

ID:(4818, 0)

Durchschnittliche Geschwindigkeit eines Moleküls in einem idealen Gas

Gleichung

>Top, >Modell

Si se calcula la velocidad promedio de la distribución con

$f ( \vec{v} )d \vec{v} =\displaystyle\frac{e^{- \beta m v ^2/2}d \vec{v} }{\displaystyle\int d^3 v e^{- \beta m v ^2 /2}}$

se obtiene que esta es con

$\bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{3 k_B T }{ m }}$

ID:(4819, 0)

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Video

Video: Estadística de Maxwell-Boltzmann