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Estadística de Fermi-Dirac
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Para el caso de los fermiones (partículas de spin fraccional) se presenta el principio de exclusión es decir nunca pueden ocupar mas de una partícula un estado particular. Esto repercute directo sobre la función partición de un gas cuántico ya que afecta directo el conteo de estados. Por ello la distribuciones que se obtienen de energía son distintas a las que se observan en un gas de bosones (partículas de spin entero).

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ID:(500, 0)


Fermiones
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Las partículas en mecánica cuántica tienen spin que puede tomar valores \pm n\hbar/2 donde \hbar es la constante de Planck y n es un numero entero.

Partículas que tienen spin fraccionales se denominan Fermiones. Se caracterizan porque las función de onda es asimétrica, es decir cambian de signo si se permutan entre dos partículas (posiciones y spin):

\Psi(\ldots,q_i,\ldots,q_j,\ldots)=-\Psi(\ldots,q_j,\ldots,q_i,\ldots)

Fermiones se describen por lo que se denomina estadísticas de Fermi-Direc.

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ID:(732, 0)


Consecuencia del Principio de Exclusión
Descripción

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A diferencia de los bosones, fermiones tienen la restricción de que solo una partícula puede ocupar un estado a la vez.

Esto restringe el número de partículas por estado n_r a los valores 0 y 1.

ID:(733, 0)


Gran Función Partición de Fermiones
Ecuación

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La gran función partición es con igual a

$ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$

\\n\\nen el caso de los fermiones asume la misma forma que para los bosones excepto que su suma no se extiende de 0 a \infty si no que solo de 0 a 1:\\n\\n

${\cal{Z}}_{FD}=\displaystyle\sum_{n_1=0}^1e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)n_1}\displaystyle\sum_{n_2=0}^1e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)n_2}\ldots$

\\n\\nlo que corresponde a\\n\\n

${\cal{Z}}_{FD}=(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_1})(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_2})\ldots$



o con el logaritmo y la suma de los términos con :

$ \ln{\cal{Z}}_{FD} =\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

ID:(3727, 0)


Aproximación de la Gran Función Partición
Ecuación

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Si pensamos la gran función partición como\\n\\n

${\cal{Z}}=\sum_{N'}Z(N')e^{-\alpha N'}$

\\n\\nante la situación que la desvían estándar del número de partículas es pequeñas, la suma se reduce a solo el elemento en N por lo que\\n\\n

${\cal{Z}}\sim Z(N)e^{-\alpha N}$



Con el logaritmo de esta expresión se obtiene con

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

ID:(3728, 0)


Número de partículas en el estado <tex>r</tex>
Ecuación

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El número de partículas en el estado r se puede calcular con mediante

$ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_{BE} }{\partial \epsilon_r }$



con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$ la función partición

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



lo que da con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$

$ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$

ID:(3730, 0)


Número total de Fermiones
Ecuación

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Como la función partición es independiente del factor \alpha se tiene que con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$

\\n\\nla derivada de \ln Z_{FD} en \alpha nos da\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial\ln Z_{FD}}{\partial\alpha}=N-\sum_r\displaystyle\frac{e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}{1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}$



por lo que el numero de partículas es con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$

$N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$

ID:(3729, 0)


Energía de partículas en el estado <tex>r</tex>
Ecuación

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El número de partículas en el estado r se puede calcular con mediante

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$ la función partición

$ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$



lo que da con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ y numero de partículas $-$

$ \bar{\epsilon}_r =\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$

ID:(13435, 0)


Energía total de Fermiones
Ecuación

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Como el numero de partículas por estado es con igual a

$ \bar{\epsilon}_r =\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$

\\n\\ny la energía total es la suma del numero de particulas por la energía correspondiente\\n\\n

$\bar{E}=\displaystyle\sum_r n_r\epsilon_r$



por lo que la energía de las partículas es con

$E=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$

ID:(13436, 0)


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