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Ecuación de Fokker Planck
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Para describir procesos irreversibles se puede estudiar como kas distribuciones de probabilidades evolucionan en en tiempo afectando la posibilidad de que un sistema vuelva a su estado inicial.

>Modelo

ID:(1140, 0)


Probabilidad de transición
Descripción

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Si se supone que una partícula tiene en un momento t_0 una velocidad v_0 existe una probabilidad\\n\\n

$P(t,v|t_0,v_0)$

que en un tiempo t posterior tenga una velocidad v ((v_0,t_0)\rightarrow (v,t)).

Nota: Un proceso en que el nuevo estado depende del estado anterior se denomina un proceso de Markoff.

ID:(9129, 0)


Tiempo relativo
Ecuación

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Para simplificar la formulación se considera el tiempo desde el tiempo inicial t_0 al que se le define como s con

$s=t-t_0$

ID:(9130, 0)


Evolución temporal de la probabilidad
Ecuación

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Para comprender como cambia la probabilidad en el tiempo de que una partícula tenga una velocidad entre v y v+dv \\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}dv$

\\n\\ndebemos considerar aquellas partículas que una vez llegaron a tener una velocidad en dicho rango y ahora presentan una velocidad v' distinta. Estas representan una reducción (signo negativo) y deben ser sumadas sobre todas las velocidades v' posibles:\\n\\n

$-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(v,s|v_0)P(u,\tau|v)$

\\n\\nEn forma analog se sumaran partículas a aquellas en el rango de la velocidad si antes presentaban una distinta y son transferidas al nuevo rango:\\n\\n

$+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v_0)P(v,\tau|u)$



Con ello la ecuación para la evolución temporal de la probabilidad es con

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}dv\tau=-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(v,s|v_0)P(u,\tau|v)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v_0)P(v,\tau|u)$

ID:(9131, 0)


Normalización
Ecuación

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Como la probabilidad P(v,s|v_0) cubre todos los cambios posibles, una integración en v debe llevar a la unidad con

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v)=1$

ID:(9132, 0)


Ecuación maestra de probabilidad
Ecuación

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Con la ecuación diferencial de la probabilidad con primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, segundo tiempo relativo $s$, velocidad final de la evolución $m/s$, velocidad inicial de la evolución $m/s$ y velocidad intermedia de la evolución $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}dv\tau=-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(v,s|v_0)P(u,\tau|v)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v_0)P(v,\tau|u)$



con la condición de normalización con primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad intermedia de la evolución $m/s$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}du P(u,s|v)=1$



y el cambio de variable u=v-\xi se tiene la ecuación maestra de la probabilidad con primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad intermedia de la evolución $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}\tau=- P(v,s|v_0)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi)$

ID:(9133, 0)


Desarrollo de Taylor
Ecuación

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El producto P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi) se puede desarrollar en \xi con el cambio de variable v\rightarrow v+\xi lo que nos arroja\\n\\n

$P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{(-\xi)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[P(v,s|v_0)P(v+\xi,\tau|v)]$



Con ello la ecuación con primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, segundo tiempo relativo $s$, velocidad final de la evolución $m/s$, velocidad inicial de la evolución $m/s$ y velocidad relativa $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}\tau=- P(v,s|v_0)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi)$



se puede escribir con primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, segundo tiempo relativo $s$, velocidad final de la evolución $m/s$, velocidad inicial de la evolución $m/s$ y velocidad relativa $m/s$ como

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}P(v,s|v_0)=\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[M_nP(v,s|v_0)]$



en donde el factor M_n se define con momento $n$-esimo de la distribución $-$, orden del momento de la distribución $-$, segundo tiempo relativo $s$, velocidad al final del segundo intervalo $m/s$ y velocidad al principio del segundo intervalo $m/s$ como

$M_n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v+\xi,\tau|v)\xi^n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^n\rangle$

ID:(9134, 0)


Coeficiente de la serie
Ecuación

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El coeficiente M_n de la serie se define como\\n\\n

$M_n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v+\xi,\tau|v)\xi^n$



Estas expresiones corresponde a la promediación en el tiempo de las potencias de las diferencias de las velocidades v en el tiempo \tau con la inicial se puede escribir con como

$M_n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v+\xi,\tau|v)\xi^n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^n\rangle$

ID:(9135, 0)


Ecuación de Fokker Planck
Ecuación

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Si se toma la ecuación maestra con la expansión de Taylor con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}P(v,s|v_0)=\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[M_nP(v,s|v_0)]$



hasta segundo orden se obtiene una ecuación para la distribución de probabilidad P(v,s|v_0) con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(M_1P)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}(M_2P)$

que se denomina la ecuación de Fokker-Planck

ID:(9136, 0)


Coeficiente $M_1$
Ecuación

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El factor M_1 que se obtiene con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}P(v,s|v_0)=\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[M_nP(v,s|v_0)]$



corresponde a la velocidad con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$

$M_1=\displaystyle\frac{1}{\tau}(v(\tau)-v(0)) = -\displaystyle\frac{1}{\tau}v$

ID:(9137, 0)


Coeficiente $M_2$
Ecuación

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El factor M_2 que se obtiene con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$ de

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}P(v,s|v_0)=\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[M_nP(v,s|v_0)]$



corresponde al factor de dispersión estimado para la ecuación de Langevin con momento $n$-esimo de la distribución $-$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, velocidad final de la evolución $m/s$ y velocidad inicial de la evolución $m/s$

$M_2=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^2\rangle = \displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\frac{6k_BT}{m}$

ID:(9138, 0)


Ecuación de Fokker Planck para factores M dados
Ecuación

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Si se toma la ecuación de Fokker Planck con

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(M_1P)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}(M_2P)$



y se empelan para los M_n los valores con

$M_1=\displaystyle\frac{1}{\tau}(v(\tau)-v(0)) = -\displaystyle\frac{1}{\tau}v$



y con

$M_2=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^2\rangle = \displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\frac{6k_BT}{m}$



se obtiene la ecuación con

$\tau\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(vP)+\displaystyle\frac{3k_BT}{m}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}P$

ID:(9139, 0)


Solución de la ecuación de Fokker Planck
Ecuación

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Si se considera la ecuación de Fokker Planck con constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, segundo tiempo relativo $s$, temperatura $K$ y velocidad final de la evolución $m/s$

$\tau\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(vP)+\displaystyle\frac{3k_BT}{m}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}P$

\\n\\ny se asume una solución del tipo\\n\\n

$P(v,s)=e^{s/\tau}Q(u,s)$

\\n\\nse obtiene la ecuación para Q(u,s) de la forma\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial s}=\displaystyle\frac{3k_BT}{m\tau}\displaystyle\frac{\partial^2Q}{\partial u^2}$

\\n\\nque con el cambio de variable\\n\\n

$\xi=\displaystyle\frac{1}{2}\tau(e^{2s/\tau}-1)$

\\n\\nse obtiene la función de difusión\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial s}=C\displaystyle\frac{\partial^2Q}{\partial\xi^2}$

\\n\\ncon la constante\\n\\n

$C=\displaystyle\frac{k_BT}{m\tau}$

\\n\\nResolviendo esta ecuación se obtiene la solución\\n\\n

$Q=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4\pi C\xi}}e^{-(u-u_0)^2/4C\xi}$



con u_0 el valor inicial. Si se integran las distintas funciones se obtiene finalmente constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, primer tiempo relativo $s$, probabilidad de transición $-$, segundo tiempo relativo $s$, temperatura $K$ y velocidad final de la evolución $m/s$

$P(v,s|v_0)=\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2\pi k_BT(1-e^{-2s/\tau})}}e^{-m(v-v_0e^{-s/\tau})^2/2k_BT(1-e^{-2s/\tau})}$

ID:(9140, 0)