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Función partición clásica
Ecuación

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En el caso de la distribución Maxwell Boltzmann la función partición clásica es\\n\\n

$Z_{MB}=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots}\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!\ldots}e^{-\beta(\epsilon_1+\epsilon_2+\ldots}$



con la condición de que con

$ N =\displaystyle\sum_ r n_r $

\\n\\nSi observamos la función partición notaremos que corresponde a una serie binomial por lo que\\n\\n

$Z_{MB}=(e^{-\beta\epsilon_1}+e^{-\beta\epsilon_2}+\ldots)^N$



por lo que con

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$

ID:(3736, 0)


Logaritmo de la función partición de un gas ideal
Ecuación

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En el caso de una partícula libre de masa m su energía corresponde a la energía cinética\\n\\n

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2$



donde v es la velocidad.

Como la función partición es con beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_ r e^{- \beta \epsilon_r }\right)$



la función partición en este caso es con beta $1/J$, energía de la partícula en el estado $r$ $J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_{ v_r }e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ID:(9588, 0)


Logaritmo de la función partición en el limite continuo
Ecuación

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En el limite continuo la suma se puede reemplazar por la integral sobre las velocidades\\n\\n

$\displaystyle\sum_{v_r}\rightarrow\displaystyle\int d^3v_r $



la función partición es con beta $1/J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y velocidad de la partícula $r$ $m/s$

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\sum_{ v_r }e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$



por lo que con beta $1/J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y velocidad de la partícula $r$ $m/s$ es

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\int d^3 v_r e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$

ID:(9589, 0)


Distribución de velocidades en gas ideal
Ecuación

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Del logaritmo de la función partición con beta $1/J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y velocidad de la partícula $r$ $m/s$

$ \ln Z_{MB} = N \ln\left(\displaystyle\int d^3 v_r e^{- \beta m v_r ^2/2}\right)$



se puede ver que la distribución de las partículas en la velocidad debe ser con beta $1/J$, función partición de Maxwell-Boltzmann $-$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$ y velocidad de la partícula $r$ $m/s$ de la forma

$ f ( \vec{v} )d \vec{v} =\displaystyle\frac{e^{- \beta m v ^2/2}d \vec{v} }{\displaystyle\int d^3 v e^{- \beta m v ^2 /2}}$

ID:(4818, 0)


Velocidad media de una molécula en un gas ideal
Ecuación

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Si se calcula la velocidad promedio de la distribución con

$ f ( \vec{v} )d \vec{v} =\displaystyle\frac{e^{- \beta m v ^2/2}d \vec{v} }{\displaystyle\int d^3 v e^{- \beta m v ^2 /2}}$



se obtiene que esta es con

$ \bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{3 k_B T }{ m }}$

ID:(4819, 0)


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Video: Estadística de Maxwell-Boltzmann