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Modelo de Weiss
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El modelo de Weiss asumen que se puede definir un campo medio en que se encuentra cada spin y que es formado del promedio de los spines que lo rodena. De esta forma es relativamente simple calcular la función de partición y determinar como se magnetiza el solido.
ID:(539, 0)
Aproximación de Weiss
Ecuación
El hamiltoneando se puede escribir como la suma de hamiltoneanos en torno de un átomo
| $ E =- g \gamma H_0 \displaystyle\sum_{ j =1}^ N S_{jz} -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k =1}^ n S_{jz} S_{kz} $ |
con lo que la parte de interacción queda como una corrección que se comporta como una campo magnético generado por los vecinos.
Por ello se puede definir un campo medio con
| $ \bar{H} \equiv\displaystyle\frac{2 J }{ g \gamma }\overline{\sum_{ k =1}^ n S_{kz} }$ |
El factor
ID:(3917, 0)
Hamiltoneano en la aproximación de Weiss
Ecuación
Con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ la aproximación
| $ \bar{H} \equiv\displaystyle\frac{2 J }{ g \gamma }\overline{\sum_{ k =1}^ n S_{kz} }$ |
\\n\\nel hamiltoneano \\n\\n
${\cal H}_j=-\left(g\gamma H_0+2J\displaystyle\sum_{k=1}^nS_{kz}\right)S_{jz}$
se puede estimar con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ como
| $ {\cal H}_j =- g \gamma ( H_0 + \bar{H} ) S_{jz} $ |
ID:(3918, 0)
Energías en la aproximación de Weiss
Ecuación
En el caso de un hamiltoenano con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, hamiltoneano de la partícula $j$ $J$ y radio giroscópico $C/kg$ del tipo
| $ {\cal H}_j =- g \gamma ( H_0 + \bar{H} ) S_{jz} $ |
Como el spin es con
| $ S_z = \hbar m $ |
\\n\\nse tiene que con el magneton de Bohr\\n\\n
$\mu_B=\gamma\hbar$
y con que la energía es
| $ E_m =- g \mu_B ( H_0 + \bar{H} ) m $ |
ID:(3919, 0)
Función partición en la aproximación de Weiss
Ecuación
Con los niveles de energía con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$ iguales a
| $ E_m =- g \mu_B ( H_0 + \bar{H} ) m $ |
\\n\\ny
$H=H_0+\bar{H}$
\\n\\nes\\n\\n
$Z_W=\displaystyle\sum_{m=-s}^{s}e^{-\eta m}$
\\n\\ncon\\n\\n
$\eta = \beta g \mu_BH$
que se puede sumar y arroja con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$
| $ Z_W =\displaystyle\frac{\sinh( s +\displaystyle\frac{1}{2}) \eta }{\sinh\displaystyle\frac{1}{2} \eta }$ |
ID:(3920, 0)
Factor $\eta$
Ecuación
Las ecuaciones dependen del factor\\n\\n
$\eta = \beta g\mu_BH$
\\n\\nque con la definición de
$\beta=\displaystyle\frac{1}{k_BT}$
se obtiene con
| $ \eta =\displaystyle\frac{ g \mu_B H }{ k_B T }$ |
ID:(3921, 0)
Momento magnético medio
Ecuación
El momento magnético medio corresponde a la fuerza generalizada asociada a la variable campo magnético. Por ello\\n\\n
$\bar{S}_{jz}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z_W}{\partial H}$
\\n\\nlo que en este caso da\\n\\n
$\bar{S}_{jz}=g\mu_B[(S+\frac{1}{2})\coth(S+\frac{1}{2})\eta-\frac{1}{2}\coth\frac{1}{2}\eta]$
El factor de las funciones del cotangente hiperbólico se puede escribir como la función de Brillouin
| $ \bar{S}_{jz} = g \mu_B S B_S(\eta) $ |
ID:(3922, 0)
Función de Brillouin
Ecuación
La definición de la función de Brillouin se escribe con y es:
| $ B_s(\eta) \equiv \displaystyle\frac{1}{ s }\left[( s +\displaystyle\frac{1}{2})\coth( s +\displaystyle\frac{1}{2}) \eta -\displaystyle\frac{1}{2}\coth\displaystyle\frac{1}{2} \eta \right]$ |
ID:(3923, 0)
Campo magnético de los vecinos
Ecuación
El problema del calculo del momento magnético con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$
| $ \bar{S}_{jz} = g \mu_B S B_S(\eta) $ |
es que
| $ \bar{H} \equiv\displaystyle\frac{2 J }{ g \gamma }\overline{\sum_{ k =1}^ n S_{kz} }$ |
\\n\\nSi esta expresión se reescribe con la definición de
$\eta =\displaystyle\frac{\mu_BB}{k_BT} =\displaystyle\frac{\mu_B}{k_BT}(H_0+\bar{H})$
se tiene finalmente una ecuación para calcular
| $2 J n s B_s(\eta)= k_B T \eta - g \mu_B H_0 $ |
ID:(3924, 0)
Solución gráfica del método de Weiss
Imagen
La ecuación de Weiss
| $2 J n s B_s(\eta)= k_B T \eta - g \mu_B H_0 $ |
puede ser resuelta igualando la función de Brillouin del lado izquierdo con la recta del lado derecho. Esto es gráficamente
Hay que hacer notar que si la temperatura es demasiado alta existe una solución para el caso en que no hay campo magnético (des-magnetización).
ID:(13510, 0)
Temperatura de Curie
Ecuación
Para que exista una solución de magnetización espontanea la pendiente de la función de Brillouin en el origen debe ser mayor que la de la recta o sea\\n\\n
$\displaystyle\frac{dB_s}{d\eta}>\displaystyle\frac{k_BT}{2nJs}$
\\n\\nComo la para valores pequeños de
$B_s(\eta)\sim \displaystyle\frac{1}{3}(s+1)\eta$
se tiene que existe magnetización espontanea siempre que la temperatura sea inferior a la llamada temperatura de Curie que con es
| $ T_c =\displaystyle\frac{2 n J s ( s +1)}{3 k_B }$ |
ID:(3925, 0)
Solución para $\eta \ll 1$
Ecuación
Para el caso
$B_S(\eta)=\displaystyle\frac{k_BT}{2JnS}\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$
\\n\\npor lo que la ecuación para el calculo del $\eta$ queda como\\n\\n
$2nJ\displaystyle\frac{1}{3}(S+1)S\eta=k_BT\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$
\\n\\nque con la expresión para la temperatura de Curie\\n\\n
$T_c=\displaystyle\frac{2nJS(S+1)}{3k_B}$
queda con como
| $ \eta =\displaystyle\frac{ g \mu_B H_0 }{ k_B ( T - T_c )}$ |
ID:(3926, 0)
Magnetización
Ecuación
La magnetización de calcula de la suma de los spines individuales multiplicados por la permeabilidad magnética.
Con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ el spin de una partícula es
| $ \bar{S}_{jz} = g \mu_B S B_S(\eta) $ |
\\n\\npor lo que se obtiene que con la permeabilidad magnetica
$\bar{M} = \mu\displaystyle\sum_{j=1}^N \bar{S}_{jz}=\mu N g\mu_B s B_s(\eta)$
o sea con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ se tiene que
| $ \bar{M} = g \mu \mu_B s B_s(\eta) N $ |
ID:(12108, 0)
Susceptibilidad magnética
Ecuación
La susceptibilidad magnética se calcula dividiendo la magnetización media que es con factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magnetización $C/m s$, magneton de Bohr $C m^2/s$, numero cuántico máximo $-$, números de partículas $-$ y permeabilidad magnética $kg m/C^2$
| $ \bar{M} = g \mu \mu_B s B_s(\eta) N $ |
y la relación para el
| $ \eta =\displaystyle\frac{ g \mu_B H }{ k_B T }$ |
\\n\\npor lo que si aplicamos la regla de la cadena en la derivada\\n\\n
$\chi=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial H}=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}=g\mu\mu_B s N\displaystyle\frac{\partial B_s(\eta)}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}$
resulta con campo magnético $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor $\eta$ $-$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y temperatura $K$ que la susceptibilidad es
| $ \chi = \displaystyle\frac{ N g ^2 \mu \mu_B ^2 s ( s +1)}{3 k_B ( T - T_c )}$ |
ID:(3927, 0)
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Video: Modelo de Weiss