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Estadística de Fermi-Dirac
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Para el caso de los fermiones (partículas de spin fraccional) se presenta el principio de exclusión es decir nunca pueden ocupar mas de una partícula un estado particular. Esto repercute directo sobre la función partición de un gas cuántico ya que afecta directo el conteo de estados. Por ello la distribuciones que se obtienen de energía son distintas a las que se observan en un gas de bosones (partículas de spin entero).
ID:(500, 0)
Fermions
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ID:(732, 0)
Consequences of Exclusion Principle
Description
A diferencia de los bosones, fermiones tienen la restricción de que solo una partícula puede ocupar un estado a la vez.
Esto restringe el número de partículas por estado
ID:(733, 0)
Fermions Grand Partition Function
Equation
La gran función partición es con igual a
| $ {\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$ |
\\n\\nen el caso de los fermiones asume la misma forma que para los bosones excepto que su suma no se extiende de
${\cal{Z}}_{FD}=\displaystyle\sum_{n_1=0}^1e^{-(\alpha+\beta\epsilon_1)n_1}\displaystyle\sum_{n_2=0}^1e^{-(\alpha+\beta\epsilon_2)n_2}\ldots$
\\n\\nlo que corresponde a\\n\\n
${\cal{Z}}_{FD}=(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_1})(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_2})\ldots$
o con el logaritmo y la suma de los términos con :
| $ \ln{\cal{Z}}_{FD} =\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
ID:(3727, 0)
Partition Function Fermions
Equation
Si pensamos la gran función partición como\\n\\n
${\cal{Z}}=\sum_{N'}Z(N')e^{-\alpha N'}$
\\n\\nante la situación que la desvían estándar del número de partículas es pequeñas, la suma se reduce a solo el elemento en
${\cal{Z}}\sim Z(N)e^{-\alpha N}$
Con el logaritmo de esta expresión se obtiene con
| $ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
ID:(3728, 0)
Number of Particles in the State $r$
Equation
El número de partículas en el estado
| $ \bar{n}_r =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z_{BE} }{\partial \epsilon_r }$ |
con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ and numero de partículas $-$ la función partición
| $ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
lo que da con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ and numero de partículas $-$
| $ n_r =\displaystyle\frac{1}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$ |
ID:(3730, 0)
Total number of Fermions
Equation
Como la función partición es independiente del factor
| $ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
\\n\\nla derivada de
$\displaystyle\frac{\partial\ln Z_{FD}}{\partial\alpha}=N-\sum_r\displaystyle\frac{e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}{1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}$
por lo que el numero de partículas es con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ and numero de partículas $-$
| $N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$ |
ID:(3729, 0)
Energy of Particles in the State $r$
Equation
El número de partículas en el estado
| $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ and numero de partículas $-$ la función partición
| $ \ln Z_{FD} = \alpha N +\displaystyle\sum_ r \ln(1+e^{- \alpha - \beta \epsilon_r })$ |
lo que da con energía del fermion en el estado $r$ $J$, factor alpha $-$, factor beta $1/J$, logaritmo de la función partición de Fermi Dirac $-$ and numero de partículas $-$
| $ \bar{\epsilon}_r =\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$ |
ID:(13435, 0)
Total Energy of Fermions
Equation
Como el numero de partículas por estado es con igual a
| $ \bar{\epsilon}_r =\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{ \alpha + \beta \epsilon_r }+1}$ |
\\n\\ny la energía total es la suma del numero de particulas por la energía correspondiente\\n\\n
$\bar{E}=\displaystyle\sum_r n_r\epsilon_r$
por lo que la energía de las partículas es con
| $E=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{\epsilon_r}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$ |
ID:(13436, 0)
0
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