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Differential Entropy for Multiple Components
Equation 
Si se tiene un sistema con
$S(U,V,N_1,N_2,\ldots,N_m)$
\\n\\nPor ello su variación será\\n\\n
$dS=\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}dU+\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}dV+\sum_n^m\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V}dN_i$
\\n\\nComo de la primera ley de la termodinámica se tiene que\\n\\n
$dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}=\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\frac{p}{T}dV$
\\n\\nCon ello las derivadas parciales son\\n\\n
$\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\displaystyle\frac{1}{T}$
\\n\\ny\\n\\n
$\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\displaystyle\frac{p}{T}$
Por ello se puede generalizar el diferencial de la entropía con a
| $dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i$ |
en que
ID:(4101, 0)
Chemical potential and Entropy
Equation
Como se asume que la entropía depende tanto de la energía interna
$S(U,V,N_1,N_2,\ldots,N_m)$
y su diferencial es con
| $dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i$ |
se tiene que el potencial químico
| $\mu_i=-T\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V}$ |
ID:(4102, 0)
Differential Internal Energy of Multiple Components
Equation
Como se tiene con que
| $dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i$ |
la energía interna se deja despejar dando con
| $dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
ID:(4103, 0)
Chemical Potential and Internal Energy
Equation
Como el diferencial de la energía interna es con
| $dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
y por la primera ley de la termodinámica para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene con que
se tiene que el potencial químico se puede escribir con como
| $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial U}{\partial N_i}\right)_{S,V,N}$ |
ID:(4104, 0)
Helmholtz Free Energy of Multiple Components
Equation
Como el diferencial de la energía interna es con
| $dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
y la definición de la energía libre de Helmholtz es con
$dF=dU-TdS-SdT=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_i\mu_idN_i$
por lo que con
| $dF=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
ID:(4105, 0)
Chemical Potential and Helmholtz Free Energy
Equation
Como el diferencial de la energía libre de Helmholtz es con
| $dF=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
y la energía libre de Helmholtz para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene que con
se tiene que el potencial químico se puede escribir con como
| $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{T,V,N}$ |
ID:(4107, 0)
Chemical Potential and Gibbs Free Energy
Equation
Como el diferencial de la energía libre de Gibbs es con
| $dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
y la energía libre de Gibbs para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene que con
| $ dG =- S dT + V dp $ |
se tiene que el potencial químico se puede escribir con como
| $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial G}{\partial N_i}\right)_{T,p,N}$ |
ID:(4108, 0)
Differential of the Gibbs Free Energy of Multiple Components
Equation
Como el diferencial de la energía interna es con
| $dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
y la definición de la energía libre de Gibbs es con
| $ dG =- S dT + V dp $ |
\\n\\nse tiene que\\n\\n
$dG=dU-TdS-SdT+pdV-Vdp=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_i\mu_idN_i$
por lo que con
| $dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
ID:(4106, 0)
Chemical Potential and Partition Function
Equation
La función partición del compuesto es igual a con
| $Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)$ |
\\n\\ncon\\n\\n
$Z_i=\displaystyle\frac{1}{N_i!}\sum_{s_i}e^{-\beta e(s)N_i}=\displaystyle\frac{\zeta_i^{N_i}}{N_i!}$
\\n\\ndonde\\n\\n
$\zeta_i\equiv\sum_{s_i}e^{-\beta e(s_i)}$
\\n\\nLa energía libre de Helmholtz se deja calcular de la función partición mediante\\n\\n
$F=-kT\ln Z=-kT\displaystyle\sum_i(N_i\ln \zeta_i-\ln N_i!)$
\\n\\nEl factor logaritmo de
$\ln N!=N\ln N-N$
\\n\\nlo que permite su derivada:\\n\\n
$\displaystyle\frac{\partial\ln(N!)}{\partial N} =\ln N$
\\n\\nCon ello el potencial químico se puede calcular como\\n\\n
$\mu_i=\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{V,T,N}=-kT(\ln\zeta_i - \ln N_i)$
o sea con
| $\mu_i=-kT\ln\displaystyle\frac{\sum_{s_i}e^{-\beta e(s_i)}}{N_i}$ |
ID:(4114, 0)
Entropy Multiple Components
Equation
La energía interna total puede expresarse como la suma de las energías internas parciales \\n\\n
$U_t=\displaystyle\sum_i^nU_i$
\\n\\nDe igual forma la energía libres de Helmholtz total
$F_t=\displaystyle\sum_i^nF_i$
Como la energía libre de Helmholtz es igual con a
se puede mostrar que la entropía total
| $S_t=\displaystyle\sum_iS_i$ |
ID:(4113, 0)
Partial Pressures
Equation
Si se considera un gas conformado de
| $Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)$ |
La presión del sistema sera por ello con
| $\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial V}$ |
\\n\\nComo \\n\\n
$\ln Z_t(V)=\displaystyle\sum_i^n \ln Z_i(V)$
\\n\\nSe tiene que si\\n\\n
$p_i=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z_i}{\partial V}$
es la presión parcial de la componente
| $p=\displaystyle\sum_i^np_i$ |
ID:(4100, 0)
Gibbs-Duhem Relationship
Equation
En caso de equilibrio entre fases la diferencial de la energía libre de Gibbs con
| $dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$ |
deberá ser nula por lo que se obtiene la relación que generaliza la ecuación de Clausius Clapeyron con
| $-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i=0$ |
ID:(4109, 0)