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Ecuación de Langevin
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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.
ID:(1139, 0)
El movimiento Brownieano
Description
Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.
ID:(9118, 0)
Ecuación de Langevin
Equation
Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la partícula tiene una masa
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
ID:(9119, 0)
Descomposición de la velocidad
Equation
La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media
| $ v(t) = \bar{v} + u(t) $ |
ID:(9120, 0)
Velocidad media
Equation
La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n
$\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)$
se tiene que con con
| $$ |
que con
| $\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$ |
dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.
ID:(9122, 0)
Promedio de la ecuación de movimiento
Equation
Si se promedia la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
\\n\\nen el tiempo y se asume que el promedio sobre la fuerza aleatoria es nula\\n\\n
$\bar{F}\sim 0$
se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la partícula con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
ID:(9121, 0)
Ecuación de fluctuaciones
Equation
Si se promedia la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $ |
para tiempos mas cortos y si la función
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
reducir la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$ a
| $m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$ |
ID:(9123, 0)
Ecuación de Lagevin
Equation
Considerando la ecuación de la velocidad media con fuerza externa media $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad media $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $ |
,
la de la fluctuación con fuerza aleatoria media $N$, masa de la partícula $kg$, promedio de la perturbación de la velocidad $m/s$ and tiempo $s$
| $m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$ |
,
el modelo de la fuerza aleatoria con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
,
y que la velocidad de la partícula es la suma de una velocidad media y una fluctuación con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$
| $ v(t) = \bar{v} + u(t) $ |
,
se puede proponer la ecuación de Langevin con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
,
ID:(9124, 0)
Dispersión de las partículas
Equation
Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersión en el tiempo. Para ello se debe calcular
| $\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$ |
se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuación de Langevin.
ID:(9127, 0)
Aplicación de la ecuación de Langevin
Equation
Si se multiplica la ecuación de Lagevin con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$
| $ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $ |
\\n\\npara el caso sin fuerza externa por la posición
$m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle$
\\n\\nComo\\n\\n
$\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle = \displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle-\langle v^2\rangle$
y con el teorema de equipartición con
| $\displaystyle\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2} k_B T $ |
se tiene la ecuación con
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
ID:(9125, 0)
Solución de la aplicación de la ecuación de Langevin
Equation
Si se integra la ecuación con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
\\n\\nen el tiempo se obtiene con la condición inicial\\n\\n
$\langle xv(0)\rangle=0$
se obtiene con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $ \langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })$ |
ID:(9744, 0)
Solución dispersión de las partículas
Equation
En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersión con promedio de la posición al cuadrado $m^2$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and tiempo $s$
| $\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$ |
y la ecuación de Langevin en la forma con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$ |
llevan a que el cuadrado de la dispersión sea proporcional al tiempo con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
ID:(9128, 0)
Límite de la solución dispersión de las partículas a corto plazo
Equation
La solución de dispersión de las partículas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
se reduce en el limite en que
| $\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$ |
ID:(9745, 0)
Límite de la solución dispersión de las partículas a largo plazo
Equation
La solución de dispersión de las partículas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$ |
se reduce en el limite en que
| $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$ |
ID:(9746, 0)