Ecuación de Langevin

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Una forma simple de modelar el movimiento Browneano es la introducción de una ecuación que describe el movimiento de una partícula en un entorno de fuerza aleatoria.

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El movimiento Brownieano

Description

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Robert Brown, un biólogo, observo bajo su microscopio como partículas de polen que flotaban sobre agua realizaban un movimiento vibratorio. Concluyo que esto se tendría que deber a fuerza ejercidas por partículas en el agua. En general podemos asumir que partículas en un sistema se pueden modelar como masas expuestas a fuerzas aleatorias que actúan sobre ellas.

ID:(9118, 0)



Ecuación de Langevin

Equation

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Para modelar el movimiento Browneano se puede asumir que la partícula tiene una masa m y velocidad v expuesta a una fuerza externa G y una fuerza aleatoria F. Por ello la ecuación de movimiento será con :

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $

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Descomposición de la velocidad

Equation

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La velocidad de la particular se puede describir como una velocidad media \bar{v} mas una velocidad que fluctúa u de modo que con

$ v(t) = \bar{v} + u(t) $

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Velocidad media

Equation

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La velocidad media significa que en un promedio temporal\\n\\n

$\langle f\rangle=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int_0^Tdt f(t)$



se tiene que con con

$$



que con

$\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$

dado que el promedio de las fluctuaciones tienden a cero.

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Promedio de la ecuación de movimiento

Equation

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Si se promedia la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $

\\n\\nen el tiempo y se asume que el promedio sobre la fuerza aleatoria es nula\\n\\n

$\bar{F}\sim 0$



se concluye que la fuerza externa define la velocidad media de la partícula con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $

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Ecuación de fluctuaciones

Equation

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Si se promedia la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }= G + F(t) $



para tiempos mas cortos y si la función G varia en forma lenta, se puede con

$ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $



reducir la ecuación de movimiento con fuerza aleatoria $N$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$ a

$m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$

ID:(9123, 0)



Ecuación de Lagevin

Equation

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Considerando la ecuación de la velocidad media con fuerza externa media $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad media $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d \bar{v} }{d t }= \bar{G} $

,

la de la fluctuación con fuerza aleatoria media $N$, masa de la partícula $kg$, promedio de la perturbación de la velocidad $m/s$ and tiempo $s$

$m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$

,

el modelo de la fuerza aleatoria con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $

,

y que la velocidad de la partícula es la suma de una velocidad media y una fluctuación con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$

$ v(t) = \bar{v} + u(t) $

,

se puede proponer la ecuación de Langevin con perturbación de la velocidad de la partícula $m/s$, velocidad de la partícula $m/s$ and velocidad media $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $

,

ID:(9124, 0)



Dispersión de las partículas

Equation

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Para estudiar como se mueven las particulars bajo la fuerza aleatoria se puede calcular lo que es la dispersión en el tiempo. Para ello se debe calcular \langle x^2\rangle donde x es la posición. Como con

$\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$

se tiene que esta se puede estimar usando un modelo de comportamiento como lo describe la ecuación de Langevin.

ID:(9127, 0)



Aplicación de la ecuación de Langevin

Equation

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Si se multiplica la ecuación de Lagevin con coeficiente viscoso $kg/s$, fuerza externa $N$, masa de la partícula $kg$, tiempo $s$ and velocidad de la partícula $m/s$

$ m \displaystyle\frac{d v }{d t }=- \alpha v + G $

\\n\\npara el caso sin fuerza externa por la posición x y se promedia en el tiempo se obtiene\\n\\n

$m\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle =-\alpha \langle xv\rangle$

\\n\\nComo\\n\\n

$\langle x\displaystyle\frac{dv}{dt}\rangle = \displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle-\langle v^2\rangle$



y con el teorema de equipartición con

$\displaystyle\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2} k_B T $



se tiene la ecuación con

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

ID:(9125, 0)



Solución de la aplicación de la ecuación de Langevin

Equation

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Si se integra la ecuación con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$

\\n\\nen el tiempo se obtiene con la condición inicial\\n\\n

$\langle xv(0)\rangle=0$



se obtiene con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$

$ \langle x v \rangle(t) = \displaystyle\frac{3 k_B T }{ \alpha }(1-e^{- \alpha t / m })$

ID:(9744, 0)



Solución dispersión de las partículas

Equation

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En el caso de tiempos largos las ecuaciones para la dispersión con promedio de la posición al cuadrado $m^2$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and tiempo $s$

$\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =2\langle xv\rangle$



y la ecuación de Langevin en la forma con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$

$m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$



llevan a que el cuadrado de la dispersión sea proporcional al tiempo con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición por la velocidad $m^2/s$ and temperatura $K$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$

ID:(9128, 0)



Límite de la solución dispersión de las partículas a corto plazo

Equation

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La solución de dispersión de las partículas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$



se reduce en el limite en que t\ll m/\alpha a con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$

$\langle x^2\rangle_0 =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$

ID:(9745, 0)



Límite de la solución dispersión de las partículas a largo plazo

Equation

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La solución de dispersión de las partículas con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$



se reduce en el limite en que t\gg m/\alpha a con coeficiente viscoso $kg/s$, constante de Boltzmann $J/K$, masa de la partícula $kg$, promedio de la posición al cuadrado $m^2$, temperatura $K$ and tiempo $s$

$\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$

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