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Potencial Quimico

Storyboard

>Modell

ID:(567, 0)



Differential Entropy von Multiple Components

Gleichung

>Top, >Modell


Si se tiene un sistema con m distintos tipos de moléculas la entropia S sera una función tanto de la energía interna U, como del volumen V pero también del numero de dichas moléculas N_i\\n\\n

S(U,V,N_1,N_2,\ldots,N_m)

\\n\\nPor ello su variación será\\n\\n

dS=\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}dU+\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}dV+\sum_n^m\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V}dN_i

\\n\\nComo de la primera ley de la termodinámica se tiene que\\n\\n

dS=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}=\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\frac{p}{T}dV

\\n\\nCon ello las derivadas parciales son\\n\\n

\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\displaystyle\frac{1}{T}

\\n\\ny\\n\\n

\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\displaystyle\frac{p}{T}



Por ello se puede generalizar el diferencial de la entropía con a

dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i

en que \mu_i son los potenciales químicos.

ID:(4101, 0)



Chemische Potential und Entropy

Gleichung

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Como se asume que la entropía depende tanto de la energía interna U, como del volumen V y del numero de moléculas N_i del tipo i\\n\\n

S(U,V,N_1,N_2,\ldots,N_m)



y su diferencial es con

dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i



se tiene que el potencial químico \mu_i se puede calcular de la entropía con mediante

\mu_i=-T\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V}

ID:(4102, 0)



Differenz Innere Energie aus mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


Como se tiene con que

dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i



la energía interna se deja despejar dando con

dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i

ID:(4103, 0)



Chemisches Potential und Innere Energie

Gleichung

>Top, >Modell


Como el diferencial de la energía interna es con

dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



y por la primera ley de la termodinámica para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene con que



se tiene que el potencial químico se puede escribir con como

\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial U}{\partial N_i}\right)_{S,V,N}

ID:(4104, 0)



Helmholtz Freie Energie aus Mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


Como el diferencial de la energía interna es con

dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



y la definición de la energía libre de Helmholtz es con

\\n\\nse tiene que\\n\\n

dF=dU-TdS-SdT=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_i\mu_idN_i



por lo que con

dF=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i

ID:(4105, 0)



Chemische Potential und Freie Helmholtz Energie

Gleichung

>Top, >Modell


Como el diferencial de la energía libre de Helmholtz es con

dF=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



y la energía libre de Helmholtz para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene que con



se tiene que el potencial químico se puede escribir con como

\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{T,V,N}

ID:(4107, 0)



Chemisches Potential und Gibbs Freie Energie

Gleichung

>Top, >Modell


Como el diferencial de la energía libre de Gibbs es con

dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



y la energía libre de Gibbs para el caso de un solo tipo de moléculas se tiene que con

dG =- S dT + V dp



se tiene que el potencial químico se puede escribir con como

\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial G}{\partial N_i}\right)_{T,p,N}

ID:(4108, 0)



Differential der Gibbs Freien Energie aus mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


Como el diferencial de la energía interna es con

dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



y la definición de la energía libre de Gibbs es con

dG =- S dT + V dp

\\n\\nse tiene que\\n\\n

dG=dU-TdS-SdT+pdV-Vdp=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_i\mu_idN_i



por lo que con

dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i

ID:(4106, 0)



Verteilungsfunktion aus Mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)

ID:(4110, 0)



Chemische Potential und Verteilungsfunktion

Gleichung

>Top, >Modell


La función partición del compuesto es igual a con

Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)

\\n\\ncon\\n\\n

Z_i=\displaystyle\frac{1}{N_i!}\sum_{s_i}e^{-\beta e(s)N_i}=\displaystyle\frac{\zeta_i^{N_i}}{N_i!}

\\n\\ndonde\\n\\n

\zeta_i\equiv\sum_{s_i}e^{-\beta e(s_i)}

\\n\\nLa energía libre de Helmholtz se deja calcular de la función partición mediante\\n\\n

F=-kT\ln Z=-kT\displaystyle\sum_i(N_i\ln \zeta_i-\ln N_i!)

\\n\\nEl factor logaritmo de N! se puede aproximar por\\n\\n

\ln N!=N\ln N-N

\\n\\nlo que permite su derivada:\\n\\n

\displaystyle\frac{\partial\ln(N!)}{\partial N} =\ln N

\\n\\nCon ello el potencial químico se puede calcular como\\n\\n

\mu_i=\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{V,T,N}=-kT(\ln\zeta_i - \ln N_i)



o sea con

\mu_i=-kT\ln\displaystyle\frac{\sum_{s_i}e^{-\beta e(s_i)}}{N_i}

ID:(4114, 0)



Entropie Multiple Components

Gleichung

>Top, >Modell


La energía interna total puede expresarse como la suma de las energías internas parciales \\n\\n

U_t=\displaystyle\sum_i^nU_i

\\n\\nDe igual forma la energía libres de Helmholtz total F_t puede sumarse de las energías libres de Helmholtz parciales F_i\\n\\n

F_t=\displaystyle\sum_i^nF_i



Como la energía libre de Helmholtz es igual con a



se puede mostrar que la entropía total S_t es igual a la suma de las entropias parciales S_i, o sea con

S_t=\displaystyle\sum_iS_i

ID:(4113, 0)



Innere Energie aus Mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


U_t=\sum_iU_i

ID:(4111, 0)



Helmholtz Freie Energie aus Mehreren Komponenten

Gleichung

>Top, >Modell


F_t=\sum_iF_i

ID:(4112, 0)



Partialdrücke

Gleichung

>Top, >Modell


Si se considera un gas conformado de n componentes distintas y se le modela como gases ideales en un volumen V, la función partición del sistema total sera igual al producto de las funciones partición de cada componente con :

Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)



La presión del sistema sera por ello con

\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial V}

\\n\\nComo \\n\\n

\ln Z_t(V)=\displaystyle\sum_i^n \ln Z_i(V)

\\n\\nSe tiene que si\\n\\n

p_i=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z_i}{\partial V}



es la presión parcial de la componente i, la presión total sera igual a la suma de las presiones parciales con :

p=\displaystyle\sum_i^np_i

ID:(4100, 0)



Gibbs-Duhem Beziehung

Gleichung

>Top, >Modell


En caso de equilibrio entre fases la diferencial de la energía libre de Gibbs con

dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i



deberá ser nula por lo que se obtiene la relación que generaliza la ecuación de Clausius Clapeyron con

-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i=0

ID:(4109, 0)