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A lei de Gauss afirma que as cargas elétricas geram campos elétricos cuja intensidade total através de uma superfície fechada depende diretamente da quantidade de carga contida no seu interior. Desta forma, relaciona a distribuição de cargas com o comportamento global do campo elétrico no espaço.

Esta lei permite que sistemas elétricos complexos sejam analisados considerando como as linhas de campo cruzam diferentes superfícies. Quando há grande simetria na distribuição de carga, como em esferas, cilindros ou planos estendidos, a lei de Gauss simplifica muito o cálculo e a compreensão dos campos elétricos.

A lei de Gauss é um dos princípios fundamentais do eletromagnetismo e faz parte das equações que descrevem o comportamento dos campos elétricos e magnéticos. Suas aplicações vão desde física básica e engenharia elétrica até o estudo de materiais, plasmas e fenômenos atmosféricos.

>Modelo

ID:(824, 'ky')

Descrição

Fluxo elétrico ($\Phi$) definida como a componente normal do campo el trico, calculada a partir de Campo elétrico na superfície i ($\vec{E}_i$) e Versor normal à superfície i ($\hat{n}_i$), multiplicada por Elemento de superfície i ($dS_i$) para cada elemento



i, que ent o somada sobre toda a se o:



equation=11372



A magnitude de Campo elétrico ($E$) gerada por Charge ($Q$), que est o a uma dist ncia de Distância ($r$), calculada utilizando Constante de campo elétrico ($\epsilon_0$) e Constante dielétrica ($\epsilon$) da seguinte forma:



equation=11379



Dado que Superfície de uma esfera ($S$) est com Distância ($r$):



equation=4731



O fluxo :



$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$



A partir disso, podemos inferir que a rela o :



equation

ID:(11377, 'gm')

Descrição

Com o que se pode inferir que a relação é:



Com Elemento de superfície ($dS$) do produto escalar de Campo elétrico ($\vec{E}$) e Versor normal para seção ($\hat{n}$), a versão contínua da lei de Gauss é obtida:

$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$

Isto corresponde à versão da equação de Gauss descoberta em 1835 e publicada postumamente [1].



[1] "Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte" (Teoremas gerais relativos às forças de atração e repulsão agindo na proporção invertida do quadrado de distância), Carl Friedrich Gauss, Werke, 1867

ID:(15791, 'gm')

Descrição

Consideremos uma esfera oca cujos Charge ($Q$) estão uniformemente distribuídos em sua superfície. Nesta situação é possível definir uma superfície gaussiana completamente contida no interior da esfera. Como a quantidade total de Charge ($Q$) encerrada pela referida superfície interna é zero, a lei de Gauss implica que o campo elétrico Campo elétrico ($E$) no interior também deve se anular:

$E =0$

Variáveis

$E$

Campo elétrico

$V/m$

ID:(3842, 'gm')

Descrição

A primeira equação de Maxwell corresponde conceitualmente à lei de Gauss, mas expressa na forma diferencial e não como uma integral sobre uma superfície gaussiana completa. Para obter esta formulação, a lei de Gauss é aplicada a um Volume ($V$) infinitesimalmente pequeno, de modo que a análise seja realizada localmente em cada ponto do espaço.

Neste limite, a quantidade de Charge ($Q$) contida no volume pode ser aproximada usando Densidade de carga volumétrica ($\rho_e$) multiplicado pelo volume diferencial. Ao mesmo tempo, o fluxo de Campo elétrico ($\vec{E}$) através das diferentes faces de Volume ($V$) permite-nos medir como o campo eléctrico diverge localmente a partir do referido ponto:



Desta forma, a lei de Gauss em sua forma integral é transformada em uma relação diferencial local, obtendo-se finalmente:

$\nabla \cdot \vec{E} = \displaystyle\frac{\rho_e}{\epsilon_0\cdot\epsilon}$

Variáveis

$\epsilon$

Constante dielétrica

$-$

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

$\epsilon_0$

Constante de campo elétrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

$\rho_e$

Densidade de carga volumétrica

$C/m^3$

ID:(3724, 'gm')

Descrição

Com a lei de Gauss







Para o caso em que o campo é normal e constante numa superfície, temos

$E_1 \cdot S_1 = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \cdot \epsilon }$

Variáveis

$S_1$

Superfície 1

$m^2$

$\epsilon$

Constante dielétrica

$-$

$Q$

Charge

$C$

$E_1$

Campo elétrico na superfície 1

$N/C$

$\epsilon_0$

Constante de campo elétrico

8.854187e-12

$C^2/m^2N$

ID:(10389, 'gm')

Descrição

Com a lei de Gauss

$\displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

para o caso em que o campo é normal e constante em duas superfícies, temos

ID:(11458, 'gm')

Descrição

Com a lei de Gauss

$\displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$

para o caso em que o campo é normal e constante em três superfícies, temos

ID:(11457, 'gm')

Descrição

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação:   para ,  depois, selecione a variável:   para 

---

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

 Variáve   Dado   Calcular   Objetivo :   Equação   A ser usado

Variáveis

$S_1$

S_1

Superfície 1

m^2

$S_2$

S_2

Superfície 2

m^2

$S_3$

S_3

Superfície 3

m^2

$S_i$

S_i

Superfície i

m^2

$\epsilon$

epsilon

Constante dielétrica

-

$\hat{n}_i$

&n_i

Versor normal à superfície i

-

$Q$

Q

Charge

C

$\vec{E}$

&E

Campo elétrico

V/m

$E$

E

Campo elétrico

V/m

$E_1$

E_1

Campo elétrico na superfície 1

N/C

$E_2$

E_2

Campo elétrico na superfície 2

N/C

$E_3$

E_3

Campo elétrico na superfície 3

N/C

$\vec{E}_i$

&E_i

Campo elétrico na superfície i

V/m

$\epsilon_0$

epsilon_0

Constante de campo elétrico

C^2/m^2N

$\rho_e$

rho_e

Densidade de carga volumétrica

C/m^3

ID:(824, 0)