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ID:(432, 0)

Descripción

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Construcción de diferenciales tanto exactos como inexactos en base a derivadas ordinarias y parciales.

ID:(565, 0)

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Funciones de dos Variables

ID:(1882, 0)

Ecuación

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La diferencia en la variable x se refiere a la desviación del valor x respecto del valor de referencia x_0 y se escribe como

o en caso de ser una diferencia no infinitesimal

\Delta x=x-x_0

ID:(3463, 0)

Ecuación

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En general la derivada se puede empelar para establer relaciones de proprocinalidad.

Por ejemplo la variación del valor de la función f se puede escribir como df o \Delta f.

En forma análoga la variación de la variable x se puede llevar a escribir como dx o \Delta x.

Con ello, y empelando la derivada de f respecto de x en el punto x_0 se puede escribir la relación:

o en caso de ser una diferencia no infinitesimal

\Delta f=f'(x_0)\Delta x

ID:(3462, 0)

Ecuación

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Los polinomios se componen de suma de elementos del tipo x^n multiplicados por constantes.

Al ser la derivada lineal, la derivada de un polinomio es igual a la suma de los elementos derivados multiplicados por una constante.

Para calcular la derivada del factor x^n se puede empelar la definición:

\displaystyle\frac{d}{dx}x^n=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\displaystyle\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}

Desarrollando el binomio se obtiene que

(x+\Delta x)^n=x^n+x^{n-1}\Delta x+\displaystyle\frac{1}{2}x^{n-2}\Delta x^2\ldots

con lo que en el limite que \Delta x es cero se obtiene

ID:(3456, 0)

Ecuación

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La diferencia en la variable y se refiere a la desviación del valor x respecto del valor de referencia y_0 y se escribe como

o en caso de ser una diferencia no infinitesimal

\Delta x=x-x_0

ID:(3466, 0)

Ecuación

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La diferencia en el valor de la función df se refiere a la desviación del valor f(x) respecto del valor de referencia f(x_0) y se escribe como

o en caso de ser una diferencia no infinitesimal

\Delta f=f(x)-f(x_0)

ID:(3464, 0)

Ecuación

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En general las derivadas parciales puede empelar para establer relaciones de proprocinalidad con funciones multivariables.

Por ejemplo la variación del valor de la función f se puede escribir como df o \Delta f.

En forma análoga la variación de la variable x se puede llevar a escribir como dx o \Delta x.

En forma análoga la variación de la variable y se puede llevar a escribir como dy o \Delta y.

Con ello, y empelando la derivada de f respecto de x en el punto x_0 y y en el punto y_0 se puede escribir la relación:

o en caso de ser una diferencia no infinitesimal

\Delta f=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y

ID:(3465, 0)

Descripción

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En el caso de que la función depende de más de una variable es necesario generalizar el concepto de derivada parcial.

La forma mas simple es continuar con la misma definición anterior pero asumir que las demas variables se mantienen constantes.

A modo de ejemplo consideremos la función de dos variables $f(x,y)$. Supongamos que deseamos derivar respecto de $x$. El resultado puede variar si en el proceso de derivar el valor de $y$ se altera. Distinta es la situación si formzamos que $y$ se mantenga fijo $($constante$)$.

Para recordar que estamos realizando la derivada con la condición de que las restantes variables no se alteran $($o sea $y$ permanece fijo$)$ empelamos una $d$ distinta: $\partial$ $($$\partial$ es una $d$ griega$)$.

Por ello en este caso pasaremos de

$\displaystyle\frac{df}{dx}\rightarrow\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\equiv f_x$

o correspondientemente

$\displaystyle\frac{df}{dy}\rightarrow\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\equiv f_y$

ID:(563, 0)

Ecuación

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Cuando escribimos el diferencial de la función f en dos dimensiones

no restringimos de ninguna forma como se lleva acabo la variación en los parámetros x e y.

De hecho se asumió en que se puede variar x y luego y y que esto dará la misma variación df de que si variamos primero y y luego x.

Si dicha conmutatividad es aplicable hablamos de que df es un diferencial exacto.

Si el orden en que se realiza la variación no es arbitrario hablamos de un diferencial inexacto. Para diferenciarlo de un diferencial exacto empleamos la letra \delta. Si g fuera una función de este tipo el diferencial se escribiría como:

\delta g=g_x(x_0,y_0)dx+g_y(x_0,y_0)dy

ID:(3467, 0)

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Interpretación de Diferenciales Inexactos

ID:(1883, 0)