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ID:('ky', 1793)

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L'utilité d'un modèle scientifique dépend de sa capacité à reproduire la réalité. Ses paramètres et les variables qu'il calcule doivent être cohérents avec les observations expérimentales et avec les mesures effectuées sur le système. Par conséquent, tester le modèle par rapport aux données est une étape essentielle du processus scientifique. Comme l'a souligné Richard Feynman :

Afin de réaliser cette validation, il faut d'abord classer correctement toutes les grandeurs impliquées dans le modèle. Il faut distinguer les constantes universelles, dont les valeurs sont connues et ne dépendent pas du système ; des variables externes ou de forçage, qui représentent des conditions imposées de l'extérieur et peuvent être modifiées lors de la simulation ; les paramètres structurels, qui caractérisent le système et sont normalement déterminés par des mesures indépendantes ; les variables algébriques, que le modèle calcule instantanément à partir de l'état du système et ne disposent pas de mémoire temporaire ; et enfin les variables dynamiques ou d'état, dont l'évolution dans le temps constitue le cur du modèle et sur lesquelles reposent ses prédictions. Cette classification permet d'identifier clairement quelles informations proviennent du monde réel, quelles quantités sont typiques du modèle et lesquelles correspondent aux résultats qui peuvent ensuite être comparés aux observations expérimentales.

ID:('gp', 654)

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Pour qu'un modèle mathématique soit interprété, validé et utilisé correctement, il est essentiel de classer toutes les grandeurs impliquées selon leur origine et leur comportement temporel. Toutes les variables ne jouent pas le même rôle : certaines représentent des informations du monde réel, tandis que d'autres sont calculées par le modèle lui-même. De même, certains restent constants lors d'une simulation, tandis que d'autres évoluent continuellement en fonction de la dynamique du système. Cette classification détermine la manière dont le modèle est construit, dont il est calibré et surtout comment il se compare aux observations expérimentales.

La figure résume cette organisation à travers deux critères fondamentaux. La première distingue si une grandeur est donnée par l'utilisateur ou l'expérience, ou si elle est calculée par le modèle. La seconde distingue si la quantité a une mémoire temporaire, c'est-à-dire si elle dépend de son historique antérieur, ou si elle peut être calculée instantanément à partir des valeurs actuelles d'autres variables. De la combinaison des deux critères, quatre catégories clairement différenciées se dégagent.

1. Forçage des variables (entrées externes).

Elles correspondent à des conditions externes que le modèle reçoit de l'environnement ou de l'expérience et qui peuvent être modifiées lors de la simulation. Ils ne sont pas calculés par le modèle et ne disposent pas de leur propre mémoire. Sa fonction est de représenter les conditions dans lesquelles le système fonctionne. Des exemples typiques sont le rayonnement photosynthétiquement actif (PAR), la température de l'air, la concentration atmosphérique en CO, l'humidité relative ou le déficit de pression de vapeur (VPD). Dans une simulation interactive, ce sont généralement les variables que l'utilisateur modifie à l'aide de contrôles ou de curseurs.

2. Paramètres structurels.

Ce sont des propriétés du système qui restent constantes lors de l'exécution du modèle. Ils décrivent les caractéristiques physiologiques, géométriques ou physiques de l'organisme et sont généralement obtenus par des mesures indépendantes ou des processus d'étalonnage. Des exemples sont la conductance stomatique maximale ($g_{max}$), la surface foliaire spécifique (SLA), la densité du bois, la profondeur maximale des racines ou encore des paramètres de courbes physiologiques telles que BallBerry ou des coefficients de vulnérabilité hydraulique. Ces paramètres ne changent qu'entre les simulations ou pendant les processus d'étalonnage.

3. Variables calculées algébriquement (sans mémoire).

Ce sont des quantités que le modèle calcule instantanément en utilisant les valeurs actuelles d'autres variables. Ils ne stockent pas dinformations du passé ; Si les entrées changent, leur valeur est entièrement recalculée au même instant. Des exemples sont la conductance stomatique ($g_s$), la photosynthèse nette ($A_n$), le taux de transpiration (E) ou l'efficacité d'utilisation de l'eau (WUE), lorsqu'ils sont obtenus directement à partir de l'état actuel du système.

4. Variables calculées dynamiquement (avec mémoire).

Ils constituent les états internes du modèle. Leur évolution dépend déquations différentielles et ils préservent donc la mémoire de leur histoire. Ils nécessitent une condition initiale et évoluent en cumulant les effets des processus physiques représentés par le modèle. On peut citer par exemple le potentiel hydrique de la feuille ($\Psi_l$), la concentration intercellulaire de $CO_2$ ($c_i$), la teneur en eau dans différents compartiments ou encore la biomasse accumulée. Ces variables représentent le comportement dynamique du système et sont chargées de reproduire des phénomènes transitoires et des retards physiologiques.

Cette classification organise non seulement le modèle d'un point de vue conceptuel, mais facilite également sa mise en uvre informatique, la détection des erreurs logiques, l'étalonnage des paramètres et la validation par rapport aux données expérimentales. De plus, cela permet d'identifier clairement quelles informations proviennent des mesures, quelles propriétés appartiennent au système étudié et quelles sont véritablement les prédictions générées par le modèle.

ID:('gp', 655)

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Si l'on analyse les équations du modèle, on observera que certaines apparaissent formulées à l'aide de dérivées ou d'intégrales par rapport au temps. Ces équations représentent la partie dynamique du système, c'est-à-dire les variables dont la valeur actuelle dépend non seulement des conditions présentes, mais également de leur histoire temporelle.

Un exemple est l'équation :

où $\Psi_l$ correspond au potentiel hydrique foliaire et constitue la variable dynamique à mémoire, puisque son évolution dépend de l'intégration des flux dans le temps. La constante $C_l$ représente la capacité de l'eau des feuilles, tandis que $F_x$ (flux de xylème) et $E$ (transpiration par diffusion de vapeur) sont des variables dynamiques sans mémoire : leur valeur peut varier dans le temps, mais à chaque instant elle est calculée directement à partir de l'état actuel du système, sans nécessiter d'informations sur les instants précédents.

Un autre exemple est :

où $c_i$ est la concentration de $CO_2$ dans l'espace intercellulaire et constitue là encore une variable dynamique à mémoire, puisque sa valeur résulte de l'intégration de l'équilibre entre entrées et sorties de dioxyde de carbone. La constante $C_i$ représente la capacité $CO_2$ de l'espace intercellulaire, tandis que $A_{ns}$ (offre diffusive de $CO_2$) et $A_{nd}$ (demande biochimique de $CO_2$) sont des variables dynamiques sans mémoire, dont la valeur est déterminée instantanément en fonction de l'état actuel du modèle.

Les variables dynamiques avec mémoire correspondent aux états du système. Ce sont les seuls qui préservent les informations du passé et déterminent donc lévolution temporelle du modèle. Son calcul nécessite l'intégration numérique des équations différentielles, constituant le cur de la simulation dynamique décrite dans les sections suivantes.

ID:('gp', 692)

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Il existe des variables qui ne semblent pas dérivées ou intégrées par rapport au temps, mais qui peuvent être calculées directement à partir de variables dynamiques avec mémoire. Celles-ci correspondent à des variables dynamiques sans mémoire, puisque leur valeur change au cours de la simulation, même si à chaque instant elle est entièrement déterminée par l'état actuel du système.

Un exemple est le flux de xylème $F_x$, qui est obtenu à partir du potentiel hydrique des feuilles $\Psi_l$, une variable dynamique avec mémoire, ainsi que des constantes $K_h$ (conductance hydraulique effective), $L$ (longueur hydraulique) et du potentiel hydrique du sol $\Psi_s$ :

Dans ce cas, $F_x$ ne nécessite pas d'intégration temporelle, mais évolue dans le temps car il dépend de $\Psi_l$, dont la valeur a de la mémoire. Cette dépendance peut être indirecte, se propageant à travers plusieurs équations algébriques. Par exemple, le bilan hydrique est défini comme :

où interviennent le flux de xylème $F_x$ et la transpiration $E$. Les deux sont des variables dynamiques sans mémoire, puisqu'elles sont continuellement recalculées à partir de l'état du système, tandis que $\Delta_b$ est simplement une variable algébrique obtenue comme la différence entre les deux.

Ces relations peuvent être facilement visualisées dans le réseau logique, où il est possible de suivre les dépendances qui surviennent dans une variable dynamique avec mémoire et se propagent à travers une chaîne d'équations jusqu'à générer plusieurs variables dynamiques sans mémoire.



L'identification de ces variables est particulièrement importante car, dans de nombreux systèmes réels, les variables dynamiques avec mémoire sont difficiles, voire impossibles, à mesurer directement. En revanche, plusieurs variables dynamiques sans mémoire peuvent être observées expérimentalement, permettant de comparer les prédictions du simulateur avec des mesures réelles et de valider le comportement du modèle.

Enfin, il existe d'autres variables algébriques qui ne dépendent ni directement ni indirectement de variables dynamiques avec mémoire. Ces variables ne font pas partie de la simulation temporelle elle-même, mais elles peuvent être analysées pour étudier comment elles réagissent aux changements dans les variables de forçage et les variables structurelles du modèle. Il est ainsi possible de caractériser le comportement statique du système et d'évaluer l'influence de ses paramètres sur les grandeurs calculées.

ID:('gp', 693)

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ID:('gp', 694)

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ID:('gp', 696)

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Une fois le modèle établi, il est essentiel de vérifier quil décrit correctement le système que lon étudie. Une partie du modèle est constituée de relations algébriques qui ne varient pas explicitement dans le temps. Ces variables algébriques sans mémoire dépendent de paramètres, de variables de forçage, telles que la température, et de variables structurelles, telles que les dimensions ou la masse d'un objet.

Pour vérifier que ces relations représentent adéquatement la réalité, il est nécessaire d'effectuer des mesures expérimentales de différentes combinaisons de paramètres et de variables algébriques, d'estimer l'incertitude associée à chaque mesure et de comparer les résultats obtenus avec les valeurs prédites par les équations du modèle.

Les données expérimentales sont stockées dans un fichier au format suivant :



#algebraic=(code de la variable algébrique représentée sur l'axe Y)

#x_var=(code de la variable représentée sur l'axe X)

#fixed : (symbole du paramètre)=valeur, (symbole du paramètre)=valeur, ...

x,x_erreur,y,y_erreur

.....



Un exemple concret est :



#algébrique=Psi_os

#x_var=T

#fixe : R=8,314, T=21,8, T_err=0,3, Cs_s=18,6, Cs_s_err=1,5

x,x_erreur,y,y_erreur

270,0,5,-0,045,0,003

280,0,5,-0,042,0,003

290,0,5,-0,044,0,003

300,0,5,-0,047,0,003



A partir de ces informations, il est possible de comparer les mesures avec les prédictions du modèle, d'évaluer la qualité de l'ajustement et d'identifier d'éventuels écarts ou erreurs systématiques dans la formulation des équations. Le résultat est présenté sous forme de graphique dont la forme ressemble à celle-ci :

ID:('gp', 697)

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ID:('gp', 695)

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Lorsqu'on veut étudier le comportement de variables dynamiques avec mémoire, il faut résoudre les équations qui déterminent leur évolution temporelle et représenter graphiquement chaque variable en fonction du temps.

De plus, nous pouvons analyser comment cette évolution change en modifiant l'un des paramètres de forçage et/ou structurels. Pour ce faire, différentes valeurs du paramètre peuvent être définies et une courbe temporelle représentée pour chacune, ce qui permet de visualiser directement son effet sur la dynamique du système.

Il est également important de considérer l'incertitude associée aux mesures utilisées par le modèle et d'estimer comment elle se propage dans les calculs. Ainsi, en plus de la courbe correspondant à la valeur estimée de la variable, sa plage d'incertitude peut être représentée par deux lignes en pointillés qui délimitent les valeurs attendues inférieure et supérieure :

ID:('gp', 647)

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En 1905, Albert Einstein publie lun des ouvrages qui marqueront la naissance de la physique statistique moderne. Son objectif était de démontrer que le mouvement irrégulier observé dans les petites particules en suspension dans un liquide le mouvement brownien pouvait être expliqué comme une conséquence directe de collisions aléatoires produites par des molécules invisibles dans le fluide. Pour ce faire, il a développé un modèle mathématique capable de relier les fluctuations microscopiques aux propriétés macroscopiques mesurables en laboratoire.

Le résultat a été une équation qui relie le déplacement quadratique moyen dune particule au temps, à la température, à la viscosité dynamique des fluides et à la taille des particules. Dans cette relation apparaît le nombre d'Avogadro, $N_A$, établissant un pont entre le monde microscopique des atomes et le monde macroscopique des mesures expérimentales. Alors que la température et la viscosité pouvaient être déterminées directement en laboratoire, la valeur de $N_A$ n'avait pas encore été mesurée de manière convaincante, l'équation offrait donc une méthode complètement nouvelle pour la déterminer.

L'expression représentée sur la figure correspond à la forme utilisée plus tard par Jean Perrin pour analyser ses expériences sur le mouvement brownien. En mesurant le déplacement des particules en suspension dans un fluide et connaissant la température, la viscosité et la taille de ces particules, Perrin a pu déterminer la valeur de $N_A$ et la comparer à celle obtenue par des méthodes totalement indépendantes.

L'importance de ce travail transcende le mouvement brownien lui-même. Einstein na pas construit déquation en ajustant empiriquement des données, mais la plutôt déduite des principes fondamentaux de la physique statistique. Par conséquent, tous les paramètres de léquation ont une signification physique bien définie et peuvent être mesurés indépendamment de lexpérience utilisée pour la valider. Cette approche constitue l'idéal de la modélisation scientifique : développer des équations basées sur des lois universelles de la nature, dont les paramètres représentent des propriétés physiques réelles et non de simples constantes d'ajustement. C'est précisément la confirmation expérimentale réalisée par Perrin qui a consolidé cette vision et transformé l'équation d'Einstein en l'un des exemples classiques de modèle basé sur des principes fondamentaux.

ID:('gp', 658)

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En 1905, Albert Einstein développa une description théorique du mouvement brownien qui associait le déplacement aléatoire de petites particules en suspension dans un fluide à des propriétés physiques mesurables telles que la température, la viscosité et la taille des particules. Dans cette équation apparaissait une constante fondamentale, $N_A$, dont l'interprétation physique n'avait pas encore été démontrée expérimentalement.

Deux décennies plus tard, Jean Perrin réalise une série dexpériences observant au microscope le mouvement brownien de minuscules particules en suspension dans un liquide. En mesurant son déplacement carré moyen et en utilisant la relation proposée par Einstein, il a pu déterminer la valeur de $N_A$. Le résultat coïncidait avec le nombre d'Avogadro obtenu par des méthodes totalement indépendantes, démontrant que la constante introduite par Einstein correspondait effectivement à une constante universelle de la nature et non à un simple paramètre d'ajustement.

Ce résultat avait une importance énorme pour la physique. L'équation d'Einstein a cessé d'être une expression dont la validité dépendait d'une valeur numérique ajustée expérimentalement et est devenue une loi basée sur des principes fondamentaux, dont les paramètres ont une signification physique universelle. En dautres termes, la théorie non seulement décrivait correctement une expérience particulière, mais était également liée aux constantes fondamentales qui régissent toute matière.

Ce travail conjoint dEinstein et Perrin représente un exemple de référence en matière de modélisation scientifique. Lobjectif nest pas de construire des équations qui fonctionnent uniquement pour un système spécifique grâce à des paramètres ajustés, mais de développer des modèles dont les paramètres correspondent aux grandeurs universelles de la physique et peuvent donc être appliqués et vérifiés dans une grande variété de phénomènes. Cette recherche duniversalité est ce qui distingue un modèle basé sur des principes physiques dun simple ajustement numérique de données.

ID:('gp', 659)

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Toutes les équations nont pas la même valeur scientifique, même si elles parviennent toutes à reproduire correctement un ensemble de données expérimentales. La différence réside dans la manière dont ils ont été construits et donc dans leur capacité à expliquer un phénomène, à extrapoler à de nouvelles conditions et à révéler les mécanismes physiques qui régissent le système.

Les équations peuvent être classées en quatre niveaux principaux :

• Niveau 0 Ajustement de courbe.

L'équation est obtenue en ajustant une fonction mathématique à un ensemble de données expérimentales. Son objectif est de reproduire les observations avec le moins derreurs possible, mais ses paramètres nont généralement aucune signification physique. Ces équations décrivent généralement les données utilisées pour un bon ajustement, bien que leur capacité prédictive en dehors de cette plage soit limitée.

• Niveau 1 Descriptif.

L'équation résume le comportement observé à l'aide d'une expression mathématique simple, telle qu'un polynôme ou une fonction empirique. Bien quil décrive les tendances générales du système, il ne représente pas encore les mécanismes physiques qui génèrent un tel comportement.

• Niveau 2 Mécaniste.

L'équation est construite à partir de la connaissance des processus physiques, chimiques ou biologiques impliqués. Chaque terme représente un mécanisme identifiable et les paramètres ont une signification spécifique au sein du système étudié. Ces modèles nous permettent de comprendre comment différents processus interagissent et facilitent l'analyse de nouveaux scénarios.

• Niveau 3 Fondamental.

Il correspond au plus haut niveau de modélisation. L'équation est dérivée de principes physiques généraux, tels que les lois de conservation, les principes variationnels ou les théories fondamentales. Ses paramètres correspondent à des constantes universelles ou propriétés physiques mesurables indépendamment du système analysé. Ces modèles ont donc une grande capacité prédictive et peuvent être appliqués à une grande variété de phénomènes sans nécessiter de réajustements spécifiques.

Une caractéristique importante est que tous les niveaux peuvent montrer un excellent accord avec les données expérimentales. Cependant, une bonne adéquation avec les mesures ne garantit pas que le modèle représente correctement la physique du phénomène. Deux équations peuvent correspondre presque parfaitement aux mêmes données, mais lune delles nest quune approximation mathématique tandis que lautre reflète les mécanismes fondamentaux qui régissent le système.

Pour cette raison, l'objectif de la modélisation scientifique n'est pas seulement de minimiser l'erreur par rapport aux données, mais de construire des équations soutenues par des principes de plus en plus généraux. L'exemple classique est celui des travaux d'Einstein et Perrin : une équation acquiert une véritable puissance scientifique lorsque ses paramètres cessent d'être de simples ajustements numériques et commencent à représenter des constantes universelles de la nature. Cest la norme à laquelle aspire la modélisation fondée sur des principes fondamentaux.

ID:('gp', 660)

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Tout comme les équations peuvent être classées selon leur niveau de fondement, les variables et paramètres qui y apparaissent ont également différents niveaux de qualité scientifique. La principale différence réside dans la manière dont chaque valeur est obtenue et dans son indépendance par rapport au modèle lui-même. Plus un paramètre est universel et indépendant, plus la capacité prédictive du modèle est grande et moins il est nécessaire de l'ajuster à chaque fois qu'il est appliqué à un nouveau système.

Les variables et paramètres peuvent être classés en cinq catégories principales :

• Catégorie $A$ Basée sur des principes fondamentaux.

Il correspond à des constantes universelles ou à des paramètres issus directement des lois fondamentales de la physique. Sa valeur ne dépend pas du système particulier étudié ni du modèle utilisé. Des exemples typiques sont la vitesse de la lumière, la constante de Planck, le nombre d'Avogadro ou la constante des gaz. Ils constituent le niveau de qualité scientifique le plus élevé.

• Catégorie $B_1$ Mesure dans le système.

Ce sont des propriétés physiques déterminées expérimentalement dans le système à modéliser. Bien quils ne soient pas universels, ils ne dépendent pas du modèle mathématique utilisé. Des exemples sont la viscosité d'un fluide, une constante cinétique mesurée ou la conductivité d'un matériau spécifique.

• Catégorie $B_2$ Mesuré dans un système similaire.

Le paramètre est issu d'expérimentations réalisées sur un système équivalent ou suffisamment similaire. Il na pas été ajusté pour le modèle actuel, mais transféré dune autre situation expérimentale. Cette catégorie permet de réutiliser les connaissances existantes lorsque les mesures directes ne sont pas disponibles.

• Catégorie $C_1$ Ajustée en fonction de la signification physique.

Le paramètre doit être ajusté pour que le modèle reproduise correctement les données, mais cet ajustement se fait dans des limites physiquement raisonnables tout en préservant une interprétation claire. Après ajustement, la valeur obtenue peut être comparée à des mesures indépendantes ou à des valeurs attendues selon la théorie.

• Catégorie $C_2$ Ajustement purement numérique.

Le paramètre existe uniquement pour améliorer l'accord entre le modèle et les données expérimentales. Il na aucune signification physique indépendante et ne peut être mesuré ou vérifié en dehors du modèle lui-même. Bien que ces types de paramètres améliorent généralement lajustement, ils augmentent également le risque de surajustement et réduisent considérablement la capacité prédictive du modèle.

Cette classification permet d'évaluer objectivement la qualité d'un modèle mathématique. Deux modèles peuvent reproduire un ensemble de données expérimentales avec la même précision, mais celui qui utilise une plus grande proportion de variables des catégories $A$, $B_1$ et $B_2$ sera généralement plus robuste, plus explicatif et plus fiable lors de l'extrapolation à de nouvelles conditions. En revanche, un modèle qui dépend principalement des paramètres $C_1$ et, surtout, $C_2$, peut décrire correctement les données disponibles, mais sa capacité à prédire le comportement du système en dehors des conditions d'ajustement sera bien moindre.

Par conséquent, un des objectifs centraux de la modélisation scientifique est de remplacer progressivement les paramètres ajustés par des variables dont la valeur provient de principes fondamentaux ou de mesures indépendantes. Suivant l'idéal énoncé par Einstein et confirmé expérimentalement par Perrin, un bon modèle doit non seulement s'adapter aux données, mais également être construit avec des paramètres ayant une signification physique universelle ou vérifiable de manière indépendante.

ID:('gp', 661)