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ID:('ky', 1793)

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Der Nutzen eines wissenschaftlichen Modells hängt von seiner Fähigkeit ab, die Realität abzubilden. Seine Parameter und die von ihm berechneten Variablen müssen mit den experimentellen Beobachtungen und den am System durchgeführten Messungen übereinstimmen. Daher ist das Testen des Modells anhand der Daten ein wesentlicher Schritt im wissenschaftlichen Prozess. Wie Richard Feynman betonte:



Um diese Validierung durchzuführen, ist es zunächst notwendig, alle am Modell beteiligten Größen korrekt zu klassifizieren. Wir müssen zwischen universellen Konstanten unterscheiden, deren Werte bekannt sind und nicht vom System abhängen; externe oder erzwingende Variablen, die von außen auferlegte Bedingungen darstellen und während der Simulation geändert werden können; Strukturparameter, die das System charakterisieren und normalerweise durch unabhängige Messungen bestimmt werden; die algebraischen Variablen, die das Modell sofort aus dem Zustand des Systems berechnet und über keinen temporären Speicher verfügen; und schließlich die dynamischen oder Zustandsvariablen, deren zeitliche Entwicklung den Kern des Modells bildet und auf denen seine Vorhersagen basieren. Durch diese Klassifizierung lässt sich eindeutig erkennen, welche Informationen aus der realen Welt stammen, welche Größen typisch für das Modell sind und welche den Ergebnissen entsprechen, die anschließend mit experimentellen Beobachtungen verglichen werden können.

ID:('gp', 654)

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Damit ein mathematisches Modell richtig interpretiert, validiert und verwendet werden kann, ist es unerlässlich, alle beteiligten Größen nach ihrer Herkunft und ihrem zeitlichen Verhalten zu klassifizieren. Nicht alle Variablen spielen die gleiche Rolle: Einige repräsentieren Informationen aus der realen Welt, während andere vom Modell selbst berechnet werden. Ebenso bleiben einige während einer Simulation konstant, während andere sich aufgrund der Dynamik des Systems kontinuierlich weiterentwickeln. Diese Klassifizierung bestimmt, wie das Modell aufgebaut ist, wie es kalibriert wird und insbesondere wie es im Vergleich zu experimentellen Beobachtungen abschneidet.



Die Abbildung fasst diese Organisation anhand zweier grundlegender Kriterien zusammen. Die erste unterscheidet, ob eine Größe vom Benutzer oder dem Experiment vorgegeben wird oder ob sie vom Modell berechnet wird. Die zweite unterscheidet, ob die Größe über einen temporären Speicher verfügt, also von ihrer Vorgeschichte abhängt, oder ob sie sofort aus den aktuellen Werten anderer Variablen berechnet werden kann. Aus der Kombination beider Kriterien ergeben sich vier klar differenzierte Kategorien.

1. Forcen von Variablen (externe Eingänge).

Sie entsprechen äußeren Bedingungen, die das Modell aus der Umgebung oder aus dem Experiment erhält und die während der Simulation verändert werden können. Sie werden nicht vom Modell berechnet und verfügen nicht über einen eigenen Speicher. Seine Funktion besteht darin, die Bedingungen darzustellen, unter denen das System arbeitet. Typische Beispiele sind photosynthetisch aktive Strahlung (PAR), Lufttemperatur, atmosphärische CO-Konzentration, relative Luftfeuchtigkeit oder Dampfdruckdefizit (VPD). In einer interaktiven Simulation handelt es sich normalerweise um Variablen, die der Benutzer mithilfe von Steuerelementen oder Schiebereglern ändert.

2. Strukturparameter.

Dabei handelt es sich um Eigenschaften des Systems, die während eines Modelllaufs konstant bleiben. Sie beschreiben physiologische, geometrische oder physikalische Eigenschaften des Organismus und werden meist durch unabhängige Messungen oder Kalibrierungsverfahren ermittelt. Beispiele sind die maximale stomatäre Leitfähigkeit ($g_{max}$), die spezifische Blattfläche (SLA), die Holzdichte, die maximale Wurzeltiefe oder Parameter physiologischer Kurven wie BallBerry oder hydraulische Vulnerabilitätskoeffizienten. Diese Parameter ändern sich nur zwischen Simulationen oder während Kalibrierungsprozessen.

3. Algebraisch berechnete Variablen (ohne Speicher).

Dabei handelt es sich um Größen, die das Modell anhand der aktuellen Werte anderer Variablen sofort berechnet. Sie speichern keine Informationen aus der Vergangenheit; Wenn sich die Eingaben ändern, wird deren Wert im selben Moment vollständig neu berechnet. Beispiele sind die stomatale Leitfähigkeit ($g_s$), die Nettophotosynthese ($A_n$), die Transpirationsrate (E) oder die Wassernutzungseffizienz (WUE), wenn sie direkt aus dem aktuellen Zustand des Systems ermittelt werden.

4. Dynamisch berechnete Variablen (mit Speicher).

Sie stellen die internen Zustände des Modells dar. Ihre Entwicklung hängt von Differentialgleichungen ab und daher bewahren sie die Erinnerung an ihre Geschichte. Sie erfordern einen Anfangszustand und entwickeln sich durch die Anhäufung der Auswirkungen der im Modell dargestellten physikalischen Prozesse. Beispiele hierfür sind das Wasserpotential des Blattes ($\Psi_l$), die interzelluläre Konzentration von $CO_2$ ($c_i$), der Wassergehalt in verschiedenen Kompartimenten oder die akkumulierte Biomasse. Diese Variablen stellen das dynamische Verhalten des Systems dar und sind für die Reproduktion transienter Phänomene und physiologischer Verzögerungen verantwortlich.

Diese Klassifizierung organisiert das Modell nicht nur aus konzeptioneller Sicht, sondern erleichtert auch seine rechnerische Umsetzung, die Erkennung logischer Fehler, die Kalibrierung von Parametern und die Validierung anhand experimenteller Daten. Darüber hinaus können wir klar erkennen, welche Informationen aus Messungen stammen, welche Eigenschaften zum untersuchten System gehören und welche Vorhersagen das Modell tatsächlich generiert.

ID:('gp', 655)

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Wenn man die Gleichungen des Modells analysiert, stellt man fest, dass einige scheinbar mithilfe von Ableitungen oder Integralen nach der Zeit formuliert sind. Diese Gleichungen stellen den dynamischen Teil des Systems dar, also jene Variablen, deren aktueller Wert nicht nur von den gegenwärtigen Bedingungen, sondern auch von ihrem zeitlichen Verlauf abhängt.

Ein Beispiel ist die Gleichung:

wobei $\Psi_l$ dem Blattwasserpotential entspricht und die dynamische Variable mit Gedächtnis darstellt, da ihre Entwicklung von der Integration der Flüsse über die Zeit abhängt. Die Konstante $C_l$ stellt die Blattwasserkapazität dar, während $F_x$ (Xylemfluss) und $E$ (Transpiration durch Dampfdiffusion) dynamische Variablen ohne Speicher sind: Ihr Wert kann sich im Laufe der Zeit ändern, wird jedoch zu jedem Zeitpunkt direkt aus dem aktuellen Zustand des Systems berechnet, ohne dass Informationen aus früheren Zeiten erforderlich sind.

Ein weiteres Beispiel ist:

Dabei ist $c_i$ die Konzentration von $CO_2$ im Interzellularraum und stellt wiederum eine dynamische Variable mit Gedächtnis dar, da sich ihr Wert aus der Integration des Gleichgewichts zwischen Inputs und Outputs von Kohlendioxid ergibt. Die Konstante $C_i$ stellt die $CO_2$-Kapazität des Interzellularraums dar, während $A_{ns}$ (diffusives Angebot an $CO_2$) und $A_{nd}$ (biochemischer Bedarf an $CO_2$) gedächtnislose dynamische Variablen sind, deren Wert sofort auf der Grundlage des aktuellen Zustands des Modells bestimmt wird.

Dynamische Variablen mit Gedächtnis entsprechen den Zuständen des Systems. Sie sind die einzigen, die Informationen aus der Vergangenheit bewahren und somit die zeitliche Entwicklung des Modells bestimmen. Seine Berechnung erfordert die numerische Integration der Differentialgleichungen, die den Kern der in den folgenden Abschnitten beschriebenen dynamischen Simulation bilden.

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Es gibt Variablen, die zeitlich nicht abgeleitet oder integriert erscheinen, die aber direkt aus dynamischen Variablen mit Speicher berechnet werden können. Diese entsprechen dynamischen Variablen ohne Speicher, da sich ihr Wert während der Simulation ändert, obwohl er zu jedem Zeitpunkt vollständig vom aktuellen Zustand des Systems bestimmt wird.

Ein Beispiel ist der Xylemfluss $F_x$, der aus dem Blattwasserpotential $\Psi_l$, einer dynamischen Variablen mit Gedächtnis, zusammen mit den Konstanten $K_h$ (effektiver hydraulischer Leitwert), $L$ (hydraulische Länge) und dem Bodenwasserpotential $\Psi_s$ ermittelt wird:

In diesem Fall erfordert $F_x$ keine zeitliche Integration, sondern entwickelt sich mit der Zeit weiter, da es von $\Psi_l$ abhängt, dessen Wert über ein Gedächtnis verfügt. Diese Abhängigkeit kann indirekt sein und sich über mehrere algebraische Gleichungen ausbreiten. Der Wasserhaushalt ist beispielsweise definiert als:

wo Xylemfluss $F_x$ und Transpiration $E$ eingreifen. Beide sind dynamische Variablen ohne Speicher, da sie kontinuierlich aus dem Zustand des Systems neu berechnet werden, während $\Delta_b$ einfach eine algebraische Variable ist, die als Differenz zwischen den beiden ermittelt wird.

Diese Beziehungen lassen sich leicht im logischen Netzwerk visualisieren, wo es möglich ist, die Abhängigkeiten zu verfolgen, die in einer dynamischen Variablen mit Speicher entstehen und sich durch eine Kette von Gleichungen fortpflanzen, bis mehrere dynamische Variablen ohne Speicher generiert werden.



Die Identifizierung dieser Variablen ist besonders wichtig, da dynamische Variablen mit Speicher in vielen realen Systemen nur schwer oder gar nicht direkt gemessen werden können. Andererseits können mehrere der dynamischen Variablen ohne Speicher experimentell beobachtet werden, wodurch die Vorhersagen des Simulators mit realen Messungen verglichen und das Verhalten des Modells validiert werden können.

Schließlich gibt es noch andere algebraische Variablen, die weder direkt noch indirekt von dynamischen Variablen mit Speicher abhängen. Diese Variablen sind nicht Teil der zeitlichen Simulation selbst, können aber analysiert werden, um zu untersuchen, wie sie auf Änderungen der Antriebsvariablen und Strukturvariablen des Modells reagieren. Auf diese Weise ist es möglich, das statische Verhalten des Systems zu charakterisieren und den Einfluss seiner Parameter auf die berechneten Größen zu bewerten.

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Sobald das Modell erstellt ist, muss unbedingt überprüft werden, ob es das von uns untersuchte System korrekt beschreibt. Ein Teil des Modells besteht aus algebraischen Beziehungen, die sich zeitlich nicht explizit ändern. Diese gedächtnislosen algebraischen Variablen hängen von Parametern ab, von treibenden Variablen wie der Temperatur und von strukturellen Variablen wie den Abmessungen oder der Masse eines Objekts.

Um zu überprüfen, ob diese Beziehungen die Realität angemessen widerspiegeln, ist es notwendig, experimentelle Messungen verschiedener Kombinationen von Parametern und algebraischen Variablen durchzuführen, die mit jeder Messung verbundene Unsicherheit abzuschätzen und die erhaltenen Ergebnisse mit den durch die Modellgleichungen vorhergesagten Werten zu vergleichen.

Die experimentellen Daten werden in einer Datei mit folgendem Format gespeichert:

#algebraic=(Code der auf der Y-Achse dargestellten algebraischen Variablen) #x_var=(Code der auf der X-Achse dargestellten Variablen) #fixed: (Parametersymbol)=Wert, (Parametersymbol)=Wert, ... x,x_err,y,y_err .....

Ein konkretes Beispiel ist:

#algebraic=Psi_os #x_var=T #fixed: R=8,314, T=21,8, T_err=0,3, Cs_s=18,6, Cs_s_err=1,5 x,x_err,y,y_err 270,0,5,-0,045,0,003 280,0,5,-0,042,0,003 290,0,5,-0,044,0,003 300,0,5,-0,047,0,003

Anhand dieser Informationen ist es möglich, die Messungen mit den Modellvorhersagen zu vergleichen, die Qualität der Anpassung zu bewerten und mögliche systematische Abweichungen oder Fehler bei der Formulierung der Gleichungen zu identifizieren. Das Ergebnis wird in einem Diagramm dargestellt, dessen Form etwa wie folgt aussieht:

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Wenn wir das Verhalten dynamischer Variablen mithilfe des Gedächtnisses untersuchen möchten, müssen wir die Gleichungen lösen, die ihre zeitliche Entwicklung bestimmen, und jede Variable grafisch als Funktion der Zeit darstellen.

Darüber hinaus können wir analysieren, wie sich diese Entwicklung ändert, indem wir einen der Antriebs- und/oder Strukturparameter ändern. Dazu können unterschiedliche Werte des Parameters definiert und für jeden ein Zeitverlauf dargestellt werden, der es uns ermöglicht, seine Auswirkung auf die Dynamik des Systems direkt zu visualisieren.

Es ist auch wichtig, die Unsicherheit zu berücksichtigen, die mit den vom Modell verwendeten Messungen verbunden ist, und abzuschätzen, wie sich diese auf die Berechnungen auswirkt. Auf diese Weise kann zusätzlich zu der Kurve, die dem geschätzten Wert der Variablen entspricht, ihr Unsicherheitsbereich durch zwei gepunktete Linien dargestellt werden, die den unteren und oberen erwarteten Wert begrenzen:

ID:('gp', 647)

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Im Jahr 1905 veröffentlichte Albert Einstein eines der Werke, das die Geburtsstunde der modernen statistischen Physik markierte. Sein Ziel war es zu zeigen, dass die unregelmäßige Bewegung, die in kleinen, in einer Flüssigkeit suspendierten Partikeln beobachtet wird die Brownsche Bewegung als direkte Folge zufälliger Kollisionen erklärt werden kann, die von unsichtbaren Molekülen in der Flüssigkeit erzeugt werden. Dazu entwickelte er ein mathematisches Modell, das mikroskopische Schwankungen mit im Labor messbaren makroskopischen Eigenschaften in Beziehung setzen kann.

Das Ergebnis war eine Gleichung, die den quadratischen Mittelwert der Verschiebung eines Partikels mit Zeit, Temperatur, dynamischer Fluidviskosität und Partikelgröße verknüpft. In dieser Beziehung erscheint die Avogadro-Zahl $N_A$, die eine Brücke zwischen der mikroskopischen Welt der Atome und der makroskopischen Welt experimenteller Messungen schlägt. Während Temperatur und Viskosität direkt im Labor bestimmt werden konnten, war der Wert von $N_A$ noch nicht überzeugend gemessen worden, sodass die Gleichung eine völlig neue Methode zu seiner Bestimmung bot.

Der in der Abbildung gezeigte Ausdruck entspricht der Form, die Jean Perrin später zur Analyse seiner Experimente zur Brownschen Bewegung verwendete. Durch die Messung der Verschiebung von in einer Flüssigkeit suspendierten Partikeln und die Kenntnis der Temperatur, Viskosität und Größe dieser Partikel konnte Perrin den Wert von $N_A$ ermitteln und ihn mit dem Wert vergleichen, der mit völlig unabhängigen Methoden ermittelt wurde.

Die Bedeutung dieser Arbeit geht über die Brownsche Bewegung selbst hinaus. Einstein konstruierte eine Gleichung nicht durch empirische Anpassung von Daten, sondern leitete sie vielmehr aus Grundprinzipien der statistischen Physik ab. Folglich haben alle Parameter der Gleichung eine wohldefinierte physikalische Bedeutung und können unabhängig von dem Experiment gemessen werden, das zu ihrer Validierung verwendet wurde. Dieser Ansatz stellt das Ideal der wissenschaftlichen Modellierung dar: die Entwicklung von Gleichungen auf der Grundlage universeller Naturgesetze, deren Parameter reale physikalische Eigenschaften und nicht einfache Anpassungskonstanten darstellen. Es war genau die experimentelle Bestätigung durch Perrin, die diese Vision festigte und Einsteins Gleichung zu einem der klassischen Beispiele eines auf Grundprinzipien basierenden Modells machte.

ID:('gp', 658)

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Im Jahr 1905 entwickelte Albert Einstein eine theoretische Beschreibung der Brownschen Bewegung, die die zufällige Verschiebung kleiner in einer Flüssigkeit suspendierter Partikel mit messbaren physikalischen Eigenschaften wie Temperatur, Viskosität und Partikelgröße in Zusammenhang brachte. In dieser Gleichung erschien eine fundamentale Konstante, $N_A$, deren physikalische Interpretation noch nicht experimentell nachgewiesen werden konnte.



Zwei Jahrzehnte später führte Jean Perrin eine Reihe von Experimenten durch, bei denen er die Brownsche Bewegung winziger in einer Flüssigkeit suspendierter Partikel unter einem Mikroskop beobachtete. Durch die Messung der mittleren quadratischen Verschiebung und die Verwendung der von Einstein vorgeschlagenen Beziehung konnte er den Wert von $N_A$ ermitteln. Das Ergebnis stimmte mit der Avogadro-Zahl überein, die mit völlig unabhängigen Methoden ermittelt wurde, und zeigte, dass die von Einstein eingeführte Konstante tatsächlich einer universellen Naturkonstante und nicht einem einfachen Anpassungsparameter entsprach.

Dieses Ergebnis hatte enorme Bedeutung für die Physik. Einsteins Gleichung war kein Ausdruck mehr, dessen Gültigkeit von einem experimentell angepassten Zahlenwert abhing, sondern wurde zu einem auf Grundprinzipien basierenden Gesetz, dessen Parameter eine universelle physikalische Bedeutung haben. Mit anderen Worten: Die Theorie beschrieb nicht nur ein bestimmtes Experiment korrekt, sondern war auch mit den Grundkonstanten verbunden, die die gesamte Materie bestimmen.

Diese gemeinsame Arbeit von Einstein und Perrin stellt ein Beispiel für den Goldstandard der wissenschaftlichen Modellierung dar. Das Ziel besteht nicht darin, Gleichungen aufzustellen, die nur für ein bestimmtes System durch angepasste Parameter funktionieren, sondern darin, Modelle zu entwickeln, deren Parameter universellen Größen der Physik entsprechen und daher auf eine Vielzahl von Phänomenen angewendet und überprüft werden können. Diese Suche nach Universalität unterscheidet ein auf physikalischen Prinzipien basierendes Modell von einer einfachen numerischen Anpassung von Daten.

ID:('gp', 659)

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Nicht alle Gleichungen haben den gleichen wissenschaftlichen Wert, auch wenn sie alle einen Satz experimenteller Daten korrekt wiedergeben können. Der Unterschied liegt in ihrer Konstruktion und damit in ihrer Fähigkeit, ein Phänomen zu erklären, auf neue Bedingungen zu extrapolieren und die physikalischen Mechanismen aufzudecken, die das System steuern.



Die Gleichungen können in vier Hauptebenen eingeteilt werden:

• Level 0 Kurvenanpassung.

Die Gleichung wird durch Anpassen einer mathematischen Funktion an einen Satz experimenteller Daten erhalten. Ihr Ziel ist es, Beobachtungen möglichst fehlerfrei zu reproduzieren, ihre Parameter haben jedoch meist keine physikalische Bedeutung. Diese Gleichungen beschreiben normalerweise die für die Anpassung verwendeten Daten gut, obwohl ihre Vorhersagefähigkeit außerhalb dieses Bereichs begrenzt ist.

• Ebene 1 Beschreibend.

Die Gleichung fasst das beobachtete Verhalten mithilfe eines einfachen mathematischen Ausdrucks zusammen, beispielsweise eines Polynoms oder einer empirischen Funktion. Obwohl es allgemeine Tendenzen des Systems beschreibt, stellt es noch nicht die physikalischen Mechanismen dar, die ein solches Verhalten erzeugen.

• Level 2 Mechanistisch.

Die Gleichung basiert auf dem Wissen über die beteiligten physikalischen, chemischen oder biologischen Prozesse. Jeder Begriff stellt einen identifizierbaren Mechanismus dar und die Parameter haben innerhalb des untersuchten Systems eine spezifische Bedeutung. Diese Modelle ermöglichen es uns zu verstehen, wie verschiedene Prozesse interagieren, und erleichtern die Analyse neuer Szenarien.

• Level 3 Grundlagen.

Es entspricht der höchsten Modellierungsstufe. Die Gleichung wird aus allgemeinen physikalischen Prinzipien wie Erhaltungssätzen, Variationsprinzipien oder fundamentalen Theorien abgeleitet. Seine Parameter entsprechen universellen Konstanten oder physikalischen Eigenschaften, die unabhängig vom analysierten System messbar sind. Daher verfügen diese Modelle über eine hohe Vorhersagekapazität und können auf eine Vielzahl von Phänomenen angewendet werden, ohne dass spezielle Nachanpassungen erforderlich sind.

Ein wichtiges Merkmal ist, dass alle Ebenen eine hervorragende Übereinstimmung mit experimentellen Daten zeigen können. Eine gute Übereinstimmung mit Messungen garantiert jedoch nicht, dass das Modell die Physik des Phänomens korrekt darstellt. Zwei Gleichungen können nahezu perfekt zu denselben Daten passen, aber eine davon ist nur eine mathematische Näherung, während die andere die grundlegenden Mechanismen widerspiegelt, die das System steuern.

Aus diesem Grund besteht das Ziel bei der wissenschaftlichen Modellierung nicht nur darin, den Fehler in Bezug auf die Daten zu minimieren, sondern auch darin, Gleichungen aufzustellen, die auf immer allgemeineren Prinzipien basieren. Das klassische Beispiel ist die Arbeit von Einstein und Perrin: Eine Gleichung erlangt wahre wissenschaftliche Aussagekraft, wenn ihre Parameter keine einfachen numerischen Anpassungen mehr sind, sondern universelle Naturkonstanten darstellen. Das ist der Anspruch, den die auf Grundprinzipien basierende Modellierung anstrebt.

ID:('gp', 660)

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So wie Gleichungen nach ihrem Fundierungsgrad klassifiziert werden können, weisen auch die darin auftretenden Variablen und Parameter unterschiedliche Grade wissenschaftlicher Qualität auf. Der Hauptunterschied besteht darin, wie jeder Wert ermittelt wird und wie unabhängig er vom Modell selbst ist. Je universeller und unabhängiger ein Parameter ist, desto größer ist die Vorhersagekapazität des Modells und desto weniger muss es jedes Mal angepasst werden, wenn es auf ein neues System angewendet wird.



Die Variablen und Parameter können in fünf Hauptkategorien eingeteilt werden:

• Kategorie $A$ Basierend auf Grundprinzipien.

Es entspricht universellen Konstanten oder Parametern, die direkt aus Grundgesetzen der Physik abgeleitet werden. Sein Wert hängt nicht vom jeweiligen untersuchten System oder dem verwendeten Modell ab. Typische Beispiele sind die Lichtgeschwindigkeit, das Plancksche Wirkungsquantum, die Avogadrosche Zahl oder die Gaskonstante. Sie stellen das Niveau höchster wissenschaftlicher Qualität dar.

• Kategorie $B_1$ Messung im System.

Dabei handelt es sich um physikalische Eigenschaften, die im zu modellierenden System experimentell ermittelt werden. Obwohl sie nicht universell sind, hängen sie nicht vom verwendeten mathematischen Modell ab. Beispiele sind die Viskosität einer Flüssigkeit, eine gemessene kinetische Konstante oder die Leitfähigkeit eines bestimmten Materials.

• Kategorie $B_2$ Gemessen in einem ähnlichen System.

Der Parameter stammt aus Experimenten, die an einem äquivalenten oder hinreichend ähnlichen System durchgeführt wurden. Es wurde nicht für das aktuelle Modell angepasst, sondern aus einer anderen Versuchssituation übernommen. Diese Kategorie ermöglicht die Wiederverwendung vorhandenen Wissens, wenn keine direkten Messungen verfügbar sind.

• Kategorie $C_1$ Angepasst an die physikalische Bedeutung.

Der Parameter muss angepasst werden, damit das Modell die Daten korrekt reproduzieren kann. Diese Anpassung erfolgt jedoch innerhalb physikalisch sinnvoller Grenzen und unter Beibehaltung einer klaren Interpretation. Nach der Anpassung kann der erhaltene Wert mit unabhängigen Messungen oder mit theoretisch zu erwartenden Werten verglichen werden.

• Kategorie $C_2$ Rein numerische Anpassung.

Der Parameter dient ausschließlich der Verbesserung der Übereinstimmung zwischen Modell und experimentellen Daten. Es hat keine eigenständige physikalische Bedeutung und kann außerhalb des Modells selbst nicht gemessen oder überprüft werden. Obwohl solche Parameter normalerweise die Anpassung verbessern, erhöhen sie auch das Risiko einer Überanpassung und verringern die Vorhersagekapazität des Modells erheblich.

Diese Klassifizierung ermöglicht eine objektive Bewertung der Qualität eines mathematischen Modells. Zwei Modelle können einen Satz experimenteller Daten mit der gleichen Präzision reproduzieren, aber das Modell, das einen größeren Anteil an Variablen aus den Kategorien $A$, $B_1$ und $B_2$ verwendet, ist im Allgemeinen robuster, erklärender und zuverlässiger bei der Extrapolation auf neue Bedingungen. Andererseits kann ein Modell, das hauptsächlich von den Parametern $C_1$ und insbesondere $C_2$ abhängt, die verfügbaren Daten korrekt beschreiben, seine Fähigkeit, das Verhalten des Systems außerhalb der Anpassungsbedingungen vorherzusagen, ist jedoch viel geringer.

Folglich besteht eines der zentralen Ziele der wissenschaftlichen Modellierung darin, die angepassten Parameter schrittweise durch Variablen zu ersetzen, deren Wert aus Grundprinzipien oder unabhängigen Messungen stammt. Dem von Einstein dargelegten und von Perrin experimentell bestätigten Ideal folgend, muss ein gutes Modell nicht nur zu den Daten passen, sondern auch mit Parametern konstruiert werden, die eine universelle oder unabhängig überprüfbare physikalische Bedeutung haben.

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