Finalmente calculamos la dosis de cada haz considerando el tiempo de exposici n De la suma se obtiene la dosis total y con el modelo L-Q se puede hacer una estimaci n de la probabilidad de sobre vivencia de las c lulas en la zona de superposici n.

El calculo real se realiza con los llamados planificadores que permiten que simulan el efecto de la radiaci n seg n perfil, Intensidad y direcci n.

El coeficiente de atenuaci n m sico \alpha se puede calcular en forma directa de la secci n eficaz \sigma mediante con N_A el numero de Avogadro y M la masa molar del material.

equation

Sin embargo como solo los fotones que son originados por efecto fotoelectrico, Compton y Pares la dosis se basara en la suma de solo tres coeficientes de absorci n

equation

Como la secci n eficaz se construye de la suma de las secciones eficaces de cada uno de los m todos de interacci n tenemos un coeficiente de atenuaci n que es la suma del coeficiente de atenuaci n para el scattering de Rayleigh \mu_R, del efecto fotoel ctrico \mu_F, del scattering de Compton \mu_C y por la generaci n de pares \mu_P:

equation

El coeficiente de atenuaci n m sico \alpha se asocia al coeficiente de atenuaci n \mu mediante la densidad \rho como:

equation

En el estudio de la interacci n radiaci n materia tenemos cinco distintos scatterings:

- Coherente o de Rayleigh (R)
- Incoherente o de Compton (C)
- Fotoel ctrico (F)
- Pares (por campo del nucleo) (P)
- Pares (por campo del electrones)

image

Coeficientes de atenuaci n m sico

Si recordamos que el scattering de Rayleigh no contribuye con los electrones que se necesitan para la terapia vemos que no se debiese trabajar a bajas energ as.

Por ello los LINAC trabajan hasta 6,MeV. A MeV se tiene que los coeficientes son del orden de \alpha_R\sim 4\times 10^{-4}cm^2/g, \alpha_C\sim 6\times 10^{-2}cm^2/g, \alpha_F\sim 3\times 10^{-4}cm^2/g y \alpha_P\sim 1\times 10^{-5}cm^2/g.

Como se irradia de distintas direcciones existen dosis parciales D_d que pueden o no ser iguales. De ser iguales su valor se puede calcular de la dosis total D dividida por el n mero de direcciones N dando

equation

Para el calculo de la Dosis se considera la energ a depositada en volumen compuesto por la secci n S y una profundidad h. La masa asociada a dicho volumen es \rho hS donde \rho es la densidad del material irradiado en que se deposita la energ a \mu h\Phi por unidad de tiempo y superficie. El \mu en este caso corresponde a la atenuaci n por efecto de los procesos que generan electrones ya que los dem s no contribuyen a radiaci n til para el tratamiento. Por otro lado \Phi se considera en el lugar en que se esta depositando la energ a. Como la dosis es la energ a depositada por masa irradiada se tiene que

\displaystyle\frac{\mu_{FCP}h\Phi(z)S}{hS\rho}\tau

donde se incluyo el tiempo \tau en que se irradio. Por ello la dosis es entonces

equation

Para el calculo de la dosis se considera la energ a depositada en volumen compuesto por la secci n S y una profundidad h. La masa asociada a dicho volumen es \rho hS donde \rho es la densidad del material irradiado en que se deposita la energ a \mu h\Phi por unidad de tiempo y superficie. El \mu en este caso corresponde a la atenuaci n por efecto de los procesos que generan electrones ya que los dem s no contribuyen a radiaci n til para el tratamiento. Por otro lado \Phi se considera en el lugar en que se esta depositando la energ a. Como la dosis es la energ a depositada por masa irradiada se tiene que

\displaystyle\frac{\mu_{FCP}h\Phi(z)S}{hS\rho}\tau

donde se incluyo el tiempo \tau en que se irradio. Por ello la dosis es entonces

equation

Si se asume que gran parte de los electrones llegan hasta el target y que el sistema opera en del l mite de saturaci n entre filamento y nodo se tiene que el numero de electrones sera del orden de |j_{max}|/e donde j_{max} es la densidad de flujo de electrones saturada y e es la carga.

Si ademas asumimos que cada electr n genera del orden de n fotones con la n-esima fracci n de la energ a E de este se tendr a que la densidad de energ a inicial ser a del orden de

\Phi(0)=\displaystyle\frac{|j_{max}|}{e}n\displaystyle\frac{E}{n}=\displaystyle\frac{|j_{max}|}{e}E

o sea

equation

La dosis se calcula de la energ a depositada dividido por la masa que la absorbe. Si consideramos una volumen de largo h y secci n S en una profundidad z el numero de fotones que entra es \Phi(z) y que lo abandonan \Phi(z + h). La diferencia nos da el numero de fotones que interactuo en el volumen que en el limite \mu h \ll 1 es

equation

En el caso de un cuerpo compuesto de dos materiales con coeficientes de absorci n \mu_1 y \mu_2 que se extienden por las distancias z_1 y z_2 el flujo ser

equation

La interacci n entre el foton y la materia se modela mediante el calculo de la probabilidad de que un foton interactue con la materia por distancia recorrida. Dicha probabilidad se denomina secci n eficaz. Esta adem s puede ser expresada como un diferencial d\sigma en que se indica la probabilidad de que un producto de la interacci n, como un electr n y/o foton emerja en un cono d\Omega de la interacci n bajo un angulo \theta. Con esta informaci n es posible estimar el comportamiento de la radiaci n que penetra el cuerpo del paciente.

La reducci n a \Phi(z) depende de la atenuaci n \mu que genera el tejido y que se modela con la ley de Beer-Lambert como

equation

Si el coeficiente de atenuaci n depende del tejido, la ley de Beer-Lambert

equation=4045

se puede generalizar a

equation

El m todo Pencil Beam + Convoluci n permite una estimaci n bastante r pida (segundo a minutos) de la dosis generada lo que lo transforma en una herramienta eficaz en la planificaci n del plan de tratamiento del paciente. Sin embargo en 20 % de los casos los resultados no son satisfactorios y pueden llevar a sobre o sub dosificaci n. Un m todo mas exacto es el llamado M todo de Monte Carlo en que se simula el comportamiento de entre 10^8 a 10^{12} a fotones y todos los electrones directos y secundarios generados. El calculo es bastante mas exacto que Pencil Beam + Convoluci n pero requiere de largos tiempos de calculo (horas a d as) lo que lo hace un m todo poco aplicable.

Uno de los modelos mas simples para el calculo es el denominado Pencil Beam en que uno asume que los fotones de comportan como un rayo (bean) que se desplaza en forma recta (pencil - l piz - desplazamiento recto como un l piz). El flujo de fotones, que en la superficie es \Phi(0), alcanza en la profundidad z una magnitud \Phi(z).

El tratamiento involucra una planificaci n que no solo incluye la dosis y el numero de sesiones, ademas indica el numero de haces (direcciones) y el perfil de cada uno. Esta es la base lo que se denomina el Intensity-modulated radiation therapy (IMRT) - Radio Terapia de Intensidad Modulada. Con ello se logra un optimo para destruir las c lulas cancer genas y reguardar al m ximo aquellas sanas.

Cuando se irradia desde varias direcciones en un mismo tratamiento se pueden sumar las dosis parciales para calcular una dosis total del tratamiento. El calculo debe ser hecho para cada punto del cuerpo irradiado y entrega una distribuci n de dosis.

A modo de ejemplo si las dosis son D_1 y D_2 la dosis total sera

equation

El coeficiente de atenuaci n m sica corresponde al coeficiente de atenuaci n \mu dividido por la densidad del material \rho, o sea \mu/\rho.