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Como a Lei de Hooke relaciona la força elástica ($F_k$) atrav s de la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:

poss vel substituir la constante de Hooke ($k$) pela express o microsc pica e, usando a defini o de o módulo de Elasticidade ($E$), obt m-se com o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$) que:

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La força elástica ($F_k$) uma fun o de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).



Neste caso, a propor o entre la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$) representada por la deformação ($\epsilon$), que pode ser definida da seguinte forma:

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Em geral, la deformação ($\epsilon$) definido como a varia o de la alongamento ($u$) em rela o a o comprimento do corpo ($L$):



Esse conceito pode ser generalizado no limite microsc pico, onde la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) introduzido como la variação do deslocamento em i ($\partial u_i$) sobre o comprimento de um elemento em i ($\partial x_i$) na dire o $i$, e seria expresso da seguinte forma:

A raz o para usar um s mbolo diferente para denotar o diferencial

$d \rightarrow \partial$

que existem v rios diferenciais que afetam diferentes vari veis no modelo. O uso do s mbolo $\partial$ indica que uma varia o deve ser realizada de cada vez, ou seja, ao considerar uma vari vel, as demais s o assumidas com seus valores iniciais.

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La força elástica ($F_k$) uma fun o que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).



Da mesma forma, assim como la deformação ($\epsilon$) introduzido para evitar o uso da dimens o o comprimento do corpo ($L$), podemos construir um fator que expressa la força elástica ($F_k$) em termos de la seção de elemento ($S$) como la tensão ($\sigma$).

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La força elástica ($F_k$) uma fun o que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).

Essa fun o pode ser reescrita utilizando as defini es de la tensão ($\sigma$) e la deformação ($\epsilon$), resultando na vers o cont nua da Lei de Hooke:

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A Lei de Hooke para ERROR:8845, ERROR:8843 e ERROR:8838 expressa da seguinte forma:



Essa lei pode ser generalizada para la tensão no eixo $i$ ($\sigma_i$) e la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) da seguinte maneira:

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A massa total o volume ($V$) do corpo calculada utilizando la seção de elemento ($S$) e o comprimento do corpo ($L$):

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Assim como em uma mola, a deforma o de um material requer energia. A energia la trabalho ($W$) necess ria para comprimir ou expandir o material calculada como a integral de la força elástica ($F_k$) ao longo do caminho $ds$ durante a deforma o:

$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$

No caso da Lei de Hooke cont nua, isso se reduz a:

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Como la energia de tensão ($W$) est relacionado com o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$), pode ser expresso da seguinte forma:



Usando a Lei de Hooke, podemos substituir la deformação ($\epsilon$) em termos de la tensão ($\sigma$), resultando em:

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Para la energia de tensão ($W$) contida em um volume ($V$), podemos definir la densidade de energia de deformação ($w$) como:

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La energia de tensão ($W$) em fun o de o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) igual a



Portanto, se dividirmos por o volume ($V$), obtemos la densidade de energia de deformação ($w$), que definido como

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A deforma o lateral diretamente proporcional deforma o que a causa. O coeficiente de proporcionalidade representado como o razão de Poisson ($\nu$) [1] e geralmente varia dentro da faixa de 0,15 a 0,4.

Se a deforma o original for la deformação ($\epsilon$) e a gerada for la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), a seguinte rela o estabelecida:

Na aproxima o linear, o coeficiente de Poisson representa a rela o entre deforma es laterais e longitudinais.

onde o sinal indica que a deforma o ocorre na dire o oposta causa.

[1] Este conceito foi introduzido por Sim on Denis Poisson em um trabalho de an lise estat stica, no qual ele mencionou, entre outros t picos n o relacionados mec nica, o que posteriormente foi chamado de coeficiente de Poisson em um exemplo de elasticidade. O trabalho tem o t tulo "Recherches sur la Probabilit des Jugements en Mati re Criminelle et en Mati re Civile" (Pesquisas sobre a Probabilidade de Julgamentos em Mat ria Criminal e Civil), escrito por Sim on Denis Poisson (1837).

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ERROR:8844 como fun o de ERROR:8843 e ERROR:8838 igual a



Esta equa o expressa ERROR:8844 sem considerar la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), que est associado a ERROR:8838 atrav s do coeficiente de Poisson. ERROR:8844 pode ser expresso como uma fun o de ERROR:8838 e la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) usando a seguinte equa o:

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