Si se supone una 'caja' de aristas de largo L los vectores de onda de la funciones de onda ser n iguales a\\n\\n

$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L}n_i$

\\n\\nPor ello el numero de estados en un volumen en el espacio de estados d^3n es igual a\\n\\n

$d^3 n =\displaystyle\frac{ L ^3}{(2 \pi )^3}d^3 k $

Esta expresi n no considera de que por estado pueden existir dos electrones por lo que debemos incluir un factor 2. Por otro lado la expresi n L^3 corresponde al volumen V por lo que con list

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

Cada part cula esta relacionado a un momento \vec{p} que se relaciona con el vector de onda \vec{k}. Con list el momento

Como los electrones se modelan como part culas libres y podemos asumir el limite no relativista se tiene que la energ a en funci n del vector de onda \vec{k} es con list

en donde m es la masa y \hbar es la constante de Planck devidido por 2\pi.

Si consideramos part culas libres en el limite no relativista se puede expresar la energ a \epsilon en funci n del vector de onda k, la constante de Planck \hbar y la masa m:

equation=3794\\n\\nLa suma se asocia a la integral del numero de modos\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow 2\displaystyle\int d^3n$

\\n\\ndonde 2 corresponde los estados spin up y down. Si pasamos al vector de onda se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\sum_i\rightarrow \displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}\int d^3k=\displaystyle\frac{2V}{(2\pi)^3}4\pi\int k^2dk$

Con la relaci n de la energ a con el vector de onda se obtiene con list la relaci n

En el caso continuo la funci n partici n se tiene que con list=3728 es

puede re-escribirse con list=13452

con list como

El n mero de part culas en el estado r se puede calcular con list=3667 mediante

con list=3728 la funci n partici n

lo que da con list

Como la funci n partici n es independiente del factor \alpha se tiene que con list=3728

$\displaystyle\frac{\partial\ln Z_{FD}}{\partial\alpha}=N-\sum_r\displaystyle\frac{e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}{1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}}$

por lo que el numero de part culas es con list

Como el numero de part culas la suma es con list=3730 de

en el caso continuo con list=13452 se tiene que

por lo que con list se tiene que

La funci n de Fermi tiene el siguiente aspecto:

image

Si se integra el numero d^3n sobre todos los estados se obtiene el numero de electrones N. Como el espacio del vector de onda es isotropico la integraci n sobre \vec{k} da una esfera cuyo radio es igual al vector de onda de Fermi k_F que corresponde al vector de onda de la energ a de Fermi \epsilon_F. Por ello con list se tiene que

El largo de onda de Broglie se asocia al vector de onda mediante\\n\\n

$\lambda=\displaystyle\frac{2\pi}{k}$

por lo que se puede definir un largo de onda de Broglie asociado a los electrones mediante el vector de onda de Fermi por lo que con list

Si se despeja la ecuaci n del n mero total de electrones

equation=3796

se obtiene que el vector de onda de Fermi es con list

Como el potencial qu mico es igual a la energ a de Fermi

equation=3794\\n\\ny esta se puede asociar al vector de onda de Fermi se tiene que\\n\\n

$\mu=\displaystyle\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}$

Como el n mero de estados se asocia al vector de onda de Fermi mediante

equation=3796

por lo que el potencial qu mico o la energ a de Fermi es con list igual a

Como la energ a \epsilon se puede asociar a la constante de Boltzmann k_B y la temperatura T\\n\\n

$\epsilon=k_BT$

se puede definir una temperatura de Fermi T_F es con list