Como la fuerza generalizada X_i se puede expresar en funci n de la derivada de la energ a con

\\n\\nEl promedio se calcula con el promedio ponderado por a distribuci n can nica\\n\\n

$\overline{X}_i=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_r X_{i,r} e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_r e^{-\beta E_r}}$

\\n\\npor lo que con\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}e^{-\beta E_r}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial E_r} e^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x_i}=-\beta e^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x_i}$

\\n\\nse obtiene\\n\\n

$\displaystyle\sum_r X_{i,r} e^{-\beta E_r} = -\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}\displaystyle\frac{\partial E_r}{\partial x}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\sum_re^{-\beta E_r}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial x}$

\\n\\ny la normalizaci n con Z se obtiene que\\n\\n

$\overline{X}_i=\displaystyle\frac{1}{\beta Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial x_i}$

lo que se puede escribir con como:

(ID 3531)

El trabajo \delta W se puede expresar como la suma del productos de las fuerzas generalizadas y los diferenciales exactos de las variables.

Con se tiene

donde el \delta no recuerda que el trabajo es un diferencial inexacto.

(ID 3532)

Como el trabajo \delta W se puede escribir en funci n de la presi n media \bar{p} y del diferencial del volumen dV como\\n\\n

$\delta W=pdV$

concluimos que la presi n es una fuerza generalizada asociada a la variable V que corresponde al volumen. Por ello la presi n en funci n de la funci n partici n es con :

(ID 3533)

Si se supone que la funci n partici n es una funci n de una variable extensible x (por ejemplo del volumen) y de \beta el diferencial del logaritmo de Z sera\\n\\n

$d\ln Z=\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial x}dx+\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial \beta}d\beta$

Como la fuerza generalizada es con beta $-$, fuerza generalizada $-$, función Partición $-$ und variable extensiva $-$

el primer termino se reduce a \beta X dx que corresponde a \beta veces el trabajo \delta W. El segundo termino se asocia al promedio de la energ a interna ya que con

\\n\\npor lo que\\n\\n

$d\ln Z=\beta\delta W-\bar{E}d\beta$

\\n\\no\\n\\n

$\delta W=\displaystyle\frac{1}{\beta}\left(d\ln Z+\bar{E}d\beta\right)$

\\n\\nCon la primera ley de la termodin mica\\n\\n

$\delta Q=TdS=\delta W+dU$

\\n\\ny si se recuerda que la energ a interna U es igual a la energ a media \bar{E} y \beta=1/k_BT se puede escribir para la entrop a como\\n\\n

$dS=k_B(d\ln Z+ \bar{E}d\beta +\beta d\bar{E} )=k_B(d\ln Z+d(\beta\bar{E}))=k_Bd(\ln Z+\beta\bar{E})$

por lo que tras integrar se tiene que

(ID 3892)

Con la energ a interna expresada como

con

la ecuaci n de la entropia

se puede escribir en funci n de la funci n partici n

(ID 9468)