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Propiedades termodinámicas
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ID:(1203, 0)


Formulario para propiedades
Definición

Las principales ecuaciones en función de la función partición:

Energía interna

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



Entalpía

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



Energía libre de Helmholtz

$ F =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z $



Energía libre de Gibbs

$ G =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z +\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial\ln Z }{\partial V }$



Entropia

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



Presión

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



Compresibilidad

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$



Dilatación térmica

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$



Capacidad térmica para volumen constante

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$



Capacidad térmica para presión constante

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$



Relación util

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$




Funciones de partición para los sólidos

Modelo clásico

$ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $



Modelo de Einstein

$ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$



Modelo de Debye

$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$

ID:(13400, 0)


Propiedades termodinámicas
Descripción

Variables
Símbolo
Texto
Variable
Valor
Unidades
Calcule
Valor MKS
Unidades MKS

Cálculos

Primero, seleccione la ecuación:   a ,  luego, seleccione la variable:   a 
Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

Cálculos

Símbolo
Ecuación
Resuelto
Traducido

 Variable   Dado   Calcule   Objetivo :   Ecuación   A utilizar


Ecuaciones

Ejemplos

Las principales ecuaciones en funci n de la funci n partici n:

Energ a interna

$U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



Entalp a

$ H =-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial \beta }+\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{\partial V }$



Energ a libre de Helmholtz

$ F =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z $



Energ a libre de Gibbs

$ G =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z +\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial\ln Z }{\partial V }$



Entropia

$ S = k_B ( \ln Z + \beta U )$



Presi n

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



Compresibilidad

$\displaystyle\frac{1}{ k_p }=-\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\frac{\partial^2\ln Z }{\partial V ^2}$



Dilataci n t rmica

$ k_T = k_p k_B \left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta \partial V }-\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }\right)$



Capacidad t rmica para volumen constante

$ C_V = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z }{\partial \beta ^2}$



Capacidad t rmica para presi n constante

$ C_p = k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial^2 \ln Z }{ \partial \beta ^2}+ k_B V \left(\displaystyle\frac{\partial \ln Z }{ \partial V }-\beta \displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z }{\partial \beta \partial V }\right)$



Relaci n util

$\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial T }=- k_B \beta ^2\displaystyle\frac{ \partial }{ \partial \beta }$




Funciones de partici n para los s lidos

Modelo cl sico

$ \ln Z_s =- 3 N \ln\left(\displaystyle\frac{ \Theta_s }{ T }\right)-\displaystyle\frac{3 N V_0 }{ k_B T } $



Modelo de Einstein

$ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$



Modelo de Debye

$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$

(ID 13400)

En todas las funciones de partici n que describen un solido el nico termino que depende del volumen es aquel de la deformaci n el stica. Dentro de este marco sabemos que la compresibilidad debe ser

$ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$



El equivalente a la relaci n el stica

$ \sigma = E \epsilon $



se tiene la relaci n correspondiente para la presi n igual a

$ p = E \epsilon $

(ID 13646)

Como la compresibilidad es

$ k_p = -\displaystyle\frac{1}{ V }\displaystyle\left(\displaystyle\frac{\partial V }{\partial p }\displaystyle\right)_ T $



se tiene que con la presi n

$ p = E \epsilon $



y la expresi n para la compresibilidad

$ k_p = \displaystyle\frac{3(1-2 \nu )}{ E }$

\\n\\nla ecuaci n\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial\epsilon}{\partial V}=-\displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)}\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$



donde V_0 es el volumen sin deformar. La integraci n de esta ecuaci n entre el volumen no deformado V_0 y el volumen actual V da

$ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$

(ID 13647)

En el limite de deformaciones peque as el volumen deformado V es muy similar al no deformado V_0 por lo que la expresi n

$ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$

\\n\\nse puede desarrollar en torno a la unidad\\n\\n

$\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)\sim 0 + 1 - \displaystyle\frac{V}{V_0} = \displaystyle\frac{V_0-V}{V_0}$



y con ello la relaci n para la deformaci n es

$ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \displaystyle\frac{V_0 - V}{V_0}$

(ID 13648)

Como la presi n se calcula con la derivada respecto del volumen de la funci n partici n

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$



la presi n es

$ p = E \epsilon $



y con la deformaci n dada por

$ \epsilon =- \displaystyle\frac{1}{3(1-2\nu)} \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$

\\n\\nse obtiene la ecuaci n\\n\\n

$p=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial \ln Z_V}{\partial V}=E\epsilon =-\displaystyle\frac{E}{3(1-2\nu)}\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)$



que si se integra entre el volumen sin deformaci n V_0 y el volumen deformado V da la componente que depende del volumen de la funci n partici n

$ \ln Z_V = \displaystyle\frac{\beta E}{3(1-2\nu)}\left(V \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right) - V + V_0\right)$

(ID 13649)

En el limite de deformaciones peque as el volumen deformado V es muy similar al no deformado V_0 por lo que la expresi n

$ \ln Z_V = \displaystyle\frac{\beta E}{3(1-2\nu)}\left(V \ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right) - V + V_0\right)$

\\n\\nse puede desarrollar en torno a la unidad\\n\\n

$V\ln\left(\displaystyle\frac{V}{V_0}\right)-V+V_0\sim \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{(V_0-V)^2}{V_0^2}$



y con ello la relaci n para la deformaci n es

$ \ln Z_V =- \displaystyle\frac{\beta E}{2\cdot 3(1-2\nu)} \displaystyle\frac{(V_0 - V)^2}{V_0^2}$

(ID 13650)

ID:(1203, 0)