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Modelo de Solido
Definition

En caso de un pez, la velocidad es del orden de $v = 0.05,m/s$, la densidad $\rho = 1.0\times 10^3,kg/m^3$, la viscosidad es $\eta = 1.0\times 10^3,Pa s$ y la dimensión del orden de $R = 0.05,m$ por lo que el numero de Reynold es

$Re =\displaystyle\frac{\rho R v}{\eta}\sim 2500$

por ello la corriente tendera a ser Turbulenta.

ID:(1579, 0)


Modelo Cuánticos del Sólidos
Description

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
$\beta$
beta
Beta
kg m/s
$\hbar$
hbar
Constante de Planck dividida por $2\pi$
J s
$\sigma$
sigma
Densidad de modos del solido
s
$\epsilon_r$
epsilon_r
Energía del estado $r$
J
$E_n$
E_n
Energía interna del solido mecánico cuántico
J
$V_0$
V_0
Energía macroscopica, deformación y constitución
J
$V_0$
V_0
Energía potencial de deformación macroscopica
J
$\omega_r$
omega_r
Frecuencia angular propia del oscilador armónico
rad/s
$Z$
Z
Función partición del solido clásico
-
$Z$
Z
Función partición del solido mecánico cuántico
-
$H$
H
Hamiltoneano del oscilador armónico
J
$\ln Z$
ln Z
Logaritmo de la función partición mecánico cuántico
-
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$n_r$
n_r
Numero cuántico del oscilador armónico
-
$N$
N
Numero de partículas
-
$q_r$
q_r
Posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio
J
$\dot{q}_r$
vq_r
Velocidad de la partícula r
m/s

Calculations

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Calculations

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Equation
Solved
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Equations

Examples

En caso de un pez, la velocidad es del orden de $v = 0.05,m/s$, la densidad $\rho = 1.0\times 10^3,kg/m^3$, la viscosidad es $\eta = 1.0\times 10^3,Pa s$ y la dimensi n del orden de $R = 0.05,m$ por lo que el numero de Reynold es

$Re =\displaystyle\frac{\rho R v}{\eta}\sim 2500$

por ello la corriente tendera a ser Turbulenta.

(ID 1579)

Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada part cula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energ a potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante con lo que:

$ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

(ID 4800)

En mec nica cu ntica se puede resolver en forma anal tica el problema del hamiltoneano de un oscilador arm nico con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, hamiltoneano del oscilador armónico $J$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ and velocidad de la partícula r $m/s$

$ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$



lo que resulta en los estado de energ a r con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, hamiltoneano del oscilador armónico $J$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ and velocidad de la partícula r $m/s$ es de la forma

$ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

(ID 4801)

Como la energ a del estado r es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del estado $r$ $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $



se tiene que la energ a total es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del estado $r$ $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

(ID 4802)

El estado de m nima energ a con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$ de

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $

\\n\\nse obtiene si todos los osciladores est n en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energ a se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$



por lo que se puede introducir una energ a base que puede contener la energ a de deformaci n el stica. Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

(ID 3894)

Con la funci n partici n con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$



y la energ a del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $



se obtiene la funci n partici n del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

(ID 3895)

La expresi n de la funci n partici n con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$



puede ser re-escrita con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$ como

$ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

(ID 9499)

En la expresi n con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geom trica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$



por lo que el logaritmo de la funci n partici n es con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

(ID 9500)

Si se toma el logaritmo de la funci n partici n de un solido con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$



se obtiene la expresi n con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

(ID 9501)

Si se introduce una funci n \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el n mero de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



con lo que el logaritmo de la funci n partici n con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ and numero de partículas $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$



se estima con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ and numero de partículas $-$

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

(ID 3896)

Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$



la energ a m nima del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero de partículas $-$

$ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$



se estima con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero de partículas $-$

$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

(ID 9540)

ID:(487, 0)