Utilizador:
Pêndulo matemático
Descrição 
No caso de um pêndulo com massa pontual, a energia potencial é gerada ao elevar a massa contra o campo gravitacional à medida que o pêndulo se desvia por um determinado ângulo.
Variáveis
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Cálculos
Variáve
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Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
(ID 3687)
A energia potencial gravitacional de um p ndulo com massa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
onde
Para ngulos pequenos, a fun o cosseno pode ser aproximada pela expans o em s rie de Taylor at a segunda ordem
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Essa aproxima o resulta em uma simplifica o da energia potencial para
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
La energia cinética da massa pontual ($K$), em relação a la massa inercial ($m_i$), la comprimento do pêndulo ($L$) e la velocidade angular ($\omega$), é expressa por:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
De forma análoga, la energia potencial do pêndulo ($V$), em função de la aceleração gravitacional ($g$) e la massa gravitacional ($m_g$), é determinada por:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Considerando la ângulo de balanço ($\theta$), a equação da energia total é expressa como:
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que la período ($T$) é igual a:
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
É possível estabelecer a relação para la frequência angular do pêndulo matemático ($\omega_0$) como:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
Usando o n mero complexo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introduzido em
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
assim, a velocidade obtida como a parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
Exemplos
Uma forma eficaz de estudar a oscila o de um p ndulo matem tico representando seu movimento no espa o de fases, que descreve o sistema em termos de momento e posi o. Neste caso, o momento corresponde ao momento angular, enquanto a posi o expressa pelo ngulo de desvio:
(ID 15849)
Um pêndulo é descrito como uma la massa gravitacional ($m_g$) suspensa por uma corda presa ao eixo de rotação, a uma distância la comprimento do pêndulo ($L$). É chamado de pêndulo matemático porque representa uma idealização do pêndulo físico, em que a massa é considerada uma massa pontual, ou seja, concentrada em um único ponto.
(ID 7098)
Um pêndulo consiste em la massa gravitacional ($m_g$), suspenso por uma corda presa ao eixo de rotação de la comprimento do pêndulo ($L$). Este modelo é conhecido como pêndulo matemático, pois representa uma idealização do pêndulo físico, na qual toda a massa está concentrada em um único ponto.
(ID 1180)
(ID 15852)
La energia total ($E$) corresponde à soma de la energia cinética total ($K$) e la energia potencial ($V$):
| $ E = K + V $ |
(ID 3687)
A energia cin tica de um corpo em rota o dada por
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
onde $I$ o momento de in rcia e $\omega$ a velocidade angular. O momento de in rcia de uma massa pontual $m$ que gira a uma dist ncia $L$ de um eixo
| $ I = m L ^2$ |
ent o temos
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
(ID 4515)
A energia potencial gravitacional de um p ndulo
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que pode ser aproximada para ngulos pequenos como:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
importante observar que o ngulo deve estar em radianos.
(ID 4514)
As massas que Newton utilizou em seus princ pios est o relacionadas in rcia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).
A lei de Newton, que est ligada for a entre corpos devido s suas massas, est relacionada gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).
Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas s o equivalentes, e, portanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa d vida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espa o, e essa deforma o do espa o causa uma mudan a no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucion rio da curvatura do espa o implica que at mesmo a luz, que n o tem massa, afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravita o de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situa o, os feixes de luz s o desviados devido presen a do sol, permitindo a observa o de estrelas que est o atr s dele.
(ID 12552)
La frequência angular do pêndulo matemático ($\omega_0$) é determinado em função de la aceleração gravitacional ($g$) e la comprimento do pêndulo ($L$) por meio de:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
La frequência angular ($\omega$) com la período ($T$) igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
La frequência do som ($\nu$) corresponde ao n mero de vezes que ocorre uma oscila o em um segundo. J La período ($T$) o tempo que uma nica oscila o leva. Portanto, o n mero de oscila es por segundo :
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
A frequ ncia indicada em Hertz (Hz).
(ID 4427)
A relação entre la frequência angular ($\omega$) e la frequência do som ($\nu$) é expressa como:
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
(ID 12338)
Com a descri o da oscila o usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
a parte real corresponde evolu o temporal da amplitude
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
(ID 14074)
Ao obtermos a parte real da derivada do n mero complexo que representa a oscila o
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuja parte real corresponde velocidade
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
ID:(1420, 0)