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Laplaciano del potencial
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La ley de Gauss en su forma diferencial se puede escribir también para el potencial eléctrico. En tal caso resulta que el laplaciano del potencial eléctrico es proporcional a la densidad de carga.
ID:(1567, 0)
Laplaciano del potencial
Descripción
La ley de Gauss en su forma diferencial se puede escribir también para el potencial eléctrico. En tal caso resulta que el laplaciano del potencial eléctrico es proporcional a la densidad de carga.
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Ecuaciones
Ejemplos
Como el campo el ctrico se puede calcular del potencial el ctrico con el gradiente
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
y la divergencia del campo es proporcional a la densidad de carga
| $\nabla\cdot\vec{E} = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se puede construir el llamado Laplaciano que es la divergencia de un gradiente. Como el operador nabla es
abla = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}
el producto punto sera
abla\cdot
abla =\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv
abla^2
con lo que la ecuaci n para el potencial el ctrico queda como
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
(ID 11567)
En el caso de que no existan cargas la ley de Gauss diferencial para el potencial el ctrico
| $ \nabla^2 V = \displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0\epsilon}$ |
se reduce a la llamada ecuaci n de Laplace
| $ \nabla^2 V = 0$ |
Esta ecuaci n tiene como soluci n las llamadas funciones arm nicas que corresponden a oscilaciones del medio. En este caso dan cuenta que movimientos de cargas generan ondas que se propagan por el espacio que que a su vez pueden generar en otro lugar movimientos de cargas.
(ID 11568)
ID:(1567, 0)