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Experimento de vaciado de columna
Descripción 
Esto significa que a medida que la columna se va vaciando y la altura $h$ se reduce, la velocidad $v$ también disminuye de manera proporcional.
Los parámetros clave son: • Diámetro interior de la cubeta: 93 mm • Diámetro interior del canal de evacuación: 3 mm • Longitud del canal de evacuación: 18 mm Estos parámetros son importantes para comprender y analizar el proceso de vaciado de la columna y cómo la velocidad de salida varía con la altura.
ID:(9870, 0)
Vaciado de columna de líquido viscoso
Descripción
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Cálculos
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,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
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Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
(ID 939)
Si consideramos el perfil de ERROR:5449,0 de un fluido en un canal cil ndrico, donde la velocidad en un radio del cilindro ($v$) var a en funci n de ERROR:10120,0 de acuerdo con la siguiente expresi n:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
con el radio del tubo ($R$) y la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$). Podemos calcular la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) utilizando la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$) y el largo de tubo ($\Delta L$) de la siguiente manera:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Si integramos la velocidad en toda la secci n transversal del canal, obtendremos el flujo de volumen ($J_V$), definida como la integral de $\pi r v(r)$ con respecto a ERROR:10120,0 desde $0$ hasta ERROR:5417,0. Esta integral se simplifica de la siguiente manera:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
La integraci n nos lleva a la ley de Hagen-Poiseuille resultante:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuaci n:
| $ dp = p - p_0 $ |
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
El flujo se define como el volumen el elemento de volumen ($\Delta V$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$), lo cual se expresa en la siguiente ecuaci n:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
y el volumen es el producto de la secci n la sección del tubo ($S$) por el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Dado que el desplazamiento el elemento del tubo ($\Delta s$) dividido por el tiempo el tiempo transcurrido ($\Delta t$) equivale a la velocidad, se representa con:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Por lo tanto, el flujo es una densidad de flujo ($j_s$), que se calcula mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Si el flujo a trav s del tubo se describe mediante la ecuaci n:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
y la diferencia de presi n $\Delta p$ es proporcional a la altura de la columna $\Delta h = h$,
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
podemos aplicar la conservaci n del flujo $J_{V1}=J_V$ entre el tubo y la columna $J_{V2}$,
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
donde el flujo en la columna $J_{V2}$ de secci n $S$ est dado por:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Aqu , la densidad de flujo $j_s$ corresponde a la velocidad media, que es igual a la variaci n de la altura en el tiempo:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
De esta manera, obtenemos la ecuaci n para la altura de la columna en funci n del tiempo:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Si en la ecuaci n
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
se reemplazan las constantes mediante
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
se obtiene la ecuaci n diferencial lineal de primer orden
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
cuya soluci n es
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
Ejemplos
Si se tiene una altura de la columna ($h$) de l quido con la densidad del líquido ($\rho_w$) bajo el efecto de la gravedad, utilizando la aceleración gravitacional ($g$), se genera el diferencial de la presión ($\Delta p$) de acuerdo con:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Esta el diferencial de la presión ($\Delta p$) produce, a trav s del tubo de salida con el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$), un flujo de un flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) seg n la ley de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Dado que esta ecuaci n incluye la sección en el punto 2 ($S_2$), es posible calcular la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Con esto, se obtiene:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
que corresponde a una velocidad media.
Para modelar el sistema, los par metros clave son: • Di metro interior de la cubeta: 93 mm • Di metro interior del canal de evacuaci n: 3,2 mm • Longitud del canal de evacuaci n: 18 mm La altura inicial del l quido es de 25 cm.
(ID 9870)
El flujo de volumen ($J_V$) se puede calcular con la ley de Hagen-Poiseuille que con los par metros la viscosidad ($\eta$), la diferencia de presión ($\Delta p$), el radio del tubo ($R$) y el largo de tubo ($\Delta L$) es:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presi n en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una funci n de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Una de las leyes m s b sicas en la f sica es la conservaci n de la masa, que es v lida en todo nuestro mundo macrosc pico. Solo en el mundo microsc pico existe una conversi n entre masa y energ a, la cual no consideraremos en este caso. En el caso de un fluido, esto significa que la masa que entra por un tubo debe ser igual a la que sale del mismo.
Si la densidad es constante, esto mismo se aplica al volumen. En estos casos, cuando tratamos el flujo como un fluido que no se puede comprimir, hablamos de un fluido incompresible. En otras palabras, si un volumen entra por un extremo del tubo, la misma cantidad debe salir por el otro extremo. Esto se puede expresar como la igualdad entre el flujo en posición 1 ($J_1$) y el flujo en posición 2 ($J_2$), con la ecuaci n:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
(ID 939)
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en t rminos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente f rmula:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
El flujo laminar de un fluido con viscosidad $\eta$ a trav s de un tubo de radio $R$ est descrito por la ley de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
La diferencia de presi n est determinada por la altura de la columna $\Delta h$:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
la cual disminuye a medida que el l quido fluye. Al aplicar la ecuaci n de continuidad, podemos demostrar que la altura disminuye con el tiempo de la siguiente manera:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
El tiempo característico columna con Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$) se calcula de la aceleración gravitacional ($g$), la densidad del líquido ($\rho_w$), el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$), la sección en el punto 2 ($S_2$) y la viscosidad ($\eta$) mediante:
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
(ID 14521)
La altura de la columna ($h$), como funci n de el tiempo ($t$), presenta un comportamiento exponencial con la altura inicial de columna de líquido ($h_0$) y el tiempo característico columna con Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$):
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
ID:(1969, 0)