La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad inicial ($v_0$) a la velocidad ($v$) se obtiene aplicando la fuerza ($F$) que produce un desplazamiento angular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), según:

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de la masa inercial ($m_i$) y la aceleración constante ($a_0$):

esta expresión puede reescribirse como:

$\Delta W = m_i a \Delta s$

o, utilizando la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

obtenemos:

$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s$

Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

resulta:

$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s= m_i v \Delta v$

donde la diferencia de velocidad ($\Delta v$) se expresa como:

Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:

Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:

$\Delta W = m_i v \Delta v = m_i(v_2 - v_1) \displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}v_1^2$

Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:

(ID 3244)

La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):

esta expresión puede reescribirse como:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

obtenemos:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

resulta:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:

Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:

(ID 3255)

(ID 3686)

Cuando un objeto rueda, su velocidad angular est relacionada con la velocidad de traslaci n a trav s de

lo cual conduce a la energ a cin tica de rotaci n

que se expresa como

$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$

As , combinando la energ a cin tica de traslaci n

la energ a cin tica de un cuerpo que rota se calcula mediante la suma

es decir,

(ID 9877)

La energía cinética total ($K$) corresponde a la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):

Dado que la energía cinética de traslación ($K_t$) se expresa en función de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como:

y que la energía cinética de rotación ($K_r$), en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se define como:

se obtiene finalmente:

(ID 9944)