Benützer:
Experiment zum entleeren von Säulen
Beschreibung 
Dies bedeutet, dass sich mit dem Abnehmen der Säule und der Verringerung der Höhe $h$ auch die Geschwindigkeit $v$ proportional verringert.
Die Schlüsselparameter sind: • Innen-Durchmesser des Gefäßes: 93 mm • Innen-Durchmesser des Evakuierungskanals: 3 mm • Länge des Evakuierungskanals: 18 mm Diese Parameter sind wichtig, um den Prozess des Säulenentleerens zu verstehen und zu analysieren, sowie wie sich die Austrittsgeschwindigkeit mit der Höhe ändert.
ID:(9870, 0)
Entleerung der viskosen Flüssigkeitssäule
Beschreibung
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
(ID 939)
Wenn wir das Profil von ERROR:5449,0 f r ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abh ngigkeit von ERROR:10120,0 gem folgendem Ausdruck variiert:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
unter Verwendung von der Rohrradius ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). K nnen wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Wenn wir die Geschwindigkeit ber den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bez glich ERROR:10120,0 von $0$ bis ERROR:5417,0. Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
Die Integration f hrt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
| $ dp = p - p_0 $ |
k nnen wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedr ckt werden:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedr ckt wird:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfl che die Rohr Sektion ($S$) mit dem zur ckgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Da der zur ckgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Wenn der Durchfluss durch das Rohr durch die Gleichung beschrieben wird:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
und der Druckunterschied $\Delta p$ proportional zur H he der S ule $\Delta h = h$ ist:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
k nnen wir das Erhaltungsgesetz des Flusses $J_{V1}=J_V$ zwischen dem Rohr und der S ule $J_{V2}$ anwenden:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
wobei der Fluss in der S ule $J_{V2}$ mit Querschnittsfl che $S$ gegeben ist durch:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Hier entspricht die Flussdichte $j_s$ der Durchschnittsgeschwindigkeit, die der nderungsrate der H he im Laufe der Zeit entspricht:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
Auf diese Weise erhalten wir die Gleichung f r die H he der S ule als Funktion der Zeit:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Wenn in der Gleichung
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
die Konstanten durch
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
deren L sung lautet
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
Beispiele
Wenn man eine Höhe der Säule ($h$) Fl ssigkeit mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) unter dem Einfluss der Schwerkraft hat, wird mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) eine die Variación de la Presión ($\Delta p$) gem folgender Gleichung erzeugt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Diese die Variación de la Presión ($\Delta p$) f hrt durch das Auslassrohr mit der Rohrlänge ($\Delta L$), der Rohrradius ($R$) und die Viskosität ($\eta$) zu einem Fluss von ein Volumenstrom 1 ($J_{V1}$) gem dem Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Da diese Gleichung die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) enth lt, kann die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) berechnet werden mittels:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Damit erh lt man:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
was einer mittleren Geschwindigkeit entspricht.
Um das System zu modellieren, sind die Schl sseldaten: • Innendurchmesser des Beh lters: 93 mm • Innendurchmesser des Abflusskanals: 3,2 mm • L nge des Abflusskanals: 18 mm Die anf ngliche Fl ssigkeitsh he betr gt 25 cm.
(ID 9870)
Der Volumenstrom ($J_V$) l sst sich mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz berechnen, das mit den Parametern die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$), der Rohrradius ($R$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) lautet:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Der H henunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden S ulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Eine der grundlegendsten Gesetze in der Physik ist die Erhaltung der Masse, die in unserer makroskopischen Welt gilt. Nur in der mikroskopischen Welt existiert eine Umwandlung zwischen Masse und Energie, die wir in diesem Fall nicht ber cksichtigen werden. Im Falle eines Fluids bedeutet dies, dass die Masse, die durch ein Rohr eintritt, gleich der Masse sein muss, die es verl sst.
Wenn die Dichte konstant ist, gilt dasselbe f r das Volumen. In solchen F llen, wenn wir den Fluss als ein inkompressibles Fluid behandeln, bedeutet dies, dass ein bestimmtes Volumen, das an einem Ende des Rohrs eintritt, am anderen Ende austreten muss. Dies kann als Gleichheit zwischen der Fließen in Position 1 ($J_1$) und der Fließen in Position 2 ($J_2$) ausgedr ckt werden, mit der Gleichung:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
(ID 939)
Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Die laminare Str mung eines Fluids mit Viskosit t $\eta$ durch ein Rohr mit Radius $R$ wird durch das Hagen-Poiseuille-Gesetz beschrieben:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Der Druckunterschied wird durch die H he der S ule $\Delta h$ bestimmt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
die abnimmt, wenn die Fl ssigkeit abflie t. Durch Anwendung der Kontinuit tsgleichung k nnen wir zeigen, dass die H he im Laufe der Zeit wie folgt abnimmt:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Der Charakteristische Zeitsäule mit Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$) wird aus die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), der Rohrlänge ($\Delta L$), der Rohrradius ($R$), die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) und die Viskosität ($\eta$) berechnet mittels:
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
(ID 14521)
Die Höhe der Säule ($h$) als Funktion von der Zeit ($t$) zeigt ein exponentielles Verhalten mit die Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule ($h_0$) und der Charakteristische Zeitsäule mit Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$):
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
ID:(1969, 0)