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Konstante Beschleunigung, zwei Stufen
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Bei beschleunigter Bewegung in zwei Phasen wird beim Übergang von der ersten zur zweiten Beschleunigung die Endgeschwindigkeit der ersten Phase zur Anfangsgeschwindigkeit der zweiten. Das Gleiche gilt für die Position, wobei die Endposition der ersten Phase der Anfangsposition der zweiten Phase entspricht.
Im Gegensatz zum Zwei-Geschwindigkeiten-Modell weist dieses Modell keine Diskontinuitätsprobleme auf, abgesehen davon, dass die Beschleunigung abrupt wechseln kann, was technisch möglich ist, aber oft nicht sehr realistisch.
ID:(1435, 0)
Konstante Beschleunigung, zwei Stufen
Beschreibung
Bei beschleunigter Bewegung in zwei Phasen wird beim Übergang von der ersten zur zweiten Beschleunigung die Endgeschwindigkeit der ersten Phase zur Anfangsgeschwindigkeit der zweiten. Das Gleiche gilt für die Position, wobei die Endposition der ersten Phase der Anfangsposition der zweiten Phase entspricht. Im Gegensatz zum Zwei-Geschwindigkeiten-Modell weist dieses Modell keine Diskontinuitätsprobleme auf, abgesehen davon, dass die Beschleunigung abrupt wechseln kann, was technisch möglich ist, aber oft nicht sehr realistisch.
Variablen
Berechnungen
zu 
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dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Im Falle, dass die konstante Beschleunigung ($a_0$) gleich die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) ist, wird es gleich
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Deshalb, wenn wir die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) als
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) als
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
betrachten, kann die Gleichung f r die konstante Beschleunigung ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
als
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
geschrieben werden, und durch Umstellen erhalten wir
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
Im Falle, dass die konstante Beschleunigung ($a_0$) gleich die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) ist, wird es gleich
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Deshalb, wenn wir die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) als
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) als
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
betrachten, kann die Gleichung f r die konstante Beschleunigung ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
als
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
geschrieben werden, und durch Umstellen erhalten wir
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
Im Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von der Zeit ($t$) eine Gerade, die durch der Startzeit ($t_0$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) verl uft und durch die Gleichung definiert ist:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Da die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) den Bereich unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve darstellt, k nnen wir die Beitr ge des Rechtecks summieren:
$v_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Um die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) mit die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) zu erhalten, ergibt sich:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Daraus folgt:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Im Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von der Zeit ($t$) eine Gerade, die durch der Startzeit ($t_0$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) verl uft und durch die Gleichung definiert ist:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Da die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) den Bereich unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve darstellt, k nnen wir die Beitr ge des Rechtecks summieren:
$v_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Um die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) mit die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) zu erhalten, ergibt sich:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Daraus folgt:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Wenn wir die Gleichungen f r der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) in die Gleichung f r die Geschwindigkeit ($v$) aufl sen, die von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die konstante Beschleunigung ($a_0$) abh ngt:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Dann, wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung f r die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$) einsetzen:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
erhalten wir einen Ausdruck f r den zur ckgelegten Weg in Abh ngigkeit von der Geschwindigkeit:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Wenn wir die Gleichungen f r der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) in die Gleichung f r die Geschwindigkeit ($v$) aufl sen, die von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die konstante Beschleunigung ($a_0$) abh ngt:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Dann, wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung f r die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$) einsetzen:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
erhalten wir einen Ausdruck f r den zur ckgelegten Weg in Abh ngigkeit von der Geschwindigkeit:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Die Definition von die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) wird als die Beziehung zwischen die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) betrachtet. Das hei t,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
und
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die Kreiselbeschleunigung ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls definiert.
(ID 3678)
Die Definition von die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) wird als die Beziehung zwischen die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) betrachtet. Das hei t,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
und
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die Kreiselbeschleunigung ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls definiert.
(ID 3678)
Wenn man von die Ausgangsstellung ($s_0$) ausgeht und die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) berechnen möchte, muss ein Wert für die Position ($s$) festgelegt werden.
In einem eindimensionalen System erhält man die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), indem man die Ausgangsstellung ($s_0$) von die Position ($s$) subtrahiert. Das ergibt:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Wenn man von die Ausgangsstellung ($s_0$) ausgeht und die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) berechnen möchte, muss ein Wert für die Position ($s$) festgelegt werden.
In einem eindimensionalen System erhält man die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), indem man die Ausgangsstellung ($s_0$) von die Position ($s$) subtrahiert. Das ergibt:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
(ID 4355)
Beispiele
(ID 15397)
In einem Szenario mit Bewegung in zwei Stufen ndert das Objekt zun chst seine Geschwindigkeit um die Geschwindigkeitsunterschied in der ersten Stufe ($\Delta v_1$) w hrend eines Zeitintervalls von ein In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) mit einer Beschleunigung von eine Beschleunigung während der ersten Stufe ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Anschlie end, in der zweiten Stufe, bewegt es sich weiter und ndert seine Geschwindigkeit um die Geschwindigkeitsunterschied in der zweiten Stufe ($\Delta v_2$) w hrend eines Zeitintervalls von der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) mit einer Beschleunigung von die Beschleunigung während der zweiten Stufe ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Wenn dies grafisch dargestellt wird, erhalten wir ein Diagramm von Geschwindigkeit und Zeit, wie unten dargestellt:
Der Schl ssel hier ist, dass die Werte der In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) und der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) sequenziell sind, genauso wie die Werte die Geschwindigkeitsunterschied in der ersten Stufe ($\Delta v_1$) und die Geschwindigkeitsunterschied in der zweiten Stufe ($\Delta v_2$).
(ID 4829)
Im Fall einer zweistufigen Bewegung kann die erste Stufe durch eine Funktion beschrieben werden, die die Punkte der Startzeit ($t_0$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die Geschwindigkeit der ersten Stufe ($v_1$) einbezieht und durch eine Gerade mit einer Steigung von die Beschleunigung während der ersten Stufe ($a_1$) dargestellt wird:
| $ v_1 = v_0 + a_1 ( t_1 - t_0 )$ |
F r die zweite Stufe, definiert durch die Punkte die Geschwindigkeit der ersten Stufe ($v_1$), die Geschwindigkeit der zweiten Stufe ($v_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$), wird eine zweite Gerade mit einer Steigung von die Beschleunigung während der zweiten Stufe ($a_2$) verwendet:
| $ v_2 = v_1 + a_2 ( t_2 - t_1 )$ |
die wie folgt dargestellt wird:
(ID 4357)
Im Fall einer zweistufigen Bewegung f llt die Position, an der die erste Stufe endet, mit der Position zusammen, an der die zweite Stufe beginnt ($s_1$).
Ebenso f llt die Zeit, zu der die erste Stufe endet, mit der Zeit zusammen, zu der die zweite Stufe beginnt ($t_1$).
Da die Bewegung durch die erfahrene Beschleunigung definiert ist, muss die Geschwindigkeit, die am Ende der ersten Stufe erreicht wird, mit der Anfangsgeschwindigkeit der zweiten Stufe bereinstimmen ($v_1$).
Im Fall einer konstanten Beschleunigung h ngt in der ersten Stufe der Erste Endposition und begonnene zweite Etappe ($s_1$) von die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Beschleunigung während der ersten Stufe ($a_1$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Startzeit ($t_0$) ab, wie folgt:
| $ s_1 = s_0 + v_0 ( t_1 - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t_1 - t_0 )^2$ |
In der zweiten Stufe h ngt die Endposition der zweiten Etappe ($s_2$) von der Erste Endposition und begonnene zweite Etappe ($s_1$), die Geschwindigkeit der ersten Stufe ($v_1$), die Beschleunigung während der zweiten Stufe ($a_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$) ab, wie folgt:
| $ s_2 = s_1 + v_1 ( t_2 - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t_2 - t_1 )^2$ |
was wie folgt dargestellt wird:
Fl che unter der konstanten Beschleunigungskurve
(ID 2254)
Wenn die Bewegung zwei Stufen mit unterschiedlichen konstanten Beschleunigungen $a_1$ und $a_2$ umfasst:
• Beginnt sie zur Zeit $t_0$ an der Position $s_0$ mit der Geschwindigkeit $v_0$.
• Endet sie zur Zeit $t_2$ an der Position $s_2$ mit der Geschwindigkeit $v_2$.
Der Schl ssel liegt im bergang von einer Stufe zur anderen:
• Die Geschwindigkeiten variieren je nach den Beschleunigungen, sind aber am bergangspunkt zwischen den Stufen gleich ($v_1$).
• Die Positionen variieren je nach der Geschwindigkeit, sind aber am bergangspunkt zwischen den Stufen gleich ($s_1$).
• Die Zeiten sind am bergangspunkt zwischen den Stufen gleich ($t_1$).
Dies wird in den folgenden Grafiken zusammengefasst:
Die Gleichungen, die diese Beziehungen erf llen, f hren zu dem folgenden Modell, das es erm glicht, jedes Szenario zu berechnen:
(ID 15400)
ID:(1435, 0)