Aceleração angular constante
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Para que um objeto atinja uma velocidade angular específica, primeiro ele deve aumentar sua velocidade angular a partir do repouso. Esse processo é chamado de aceleração angular e é definido em termos da variação da velocidade angular no tempo. Por outro lado, se o objetivo for reduzir a velocidade angular e até mesmo parar a rotação do objeto, também é introduzida uma aceleração angular, mas com o sinal oposto ao da velocidade angular (se a velocidade angular for positiva, a aceleração angular é negativa, e vice-versa), o que é conhecido como frenagem da rotação.
ID:(612, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15413, 0)
Aceleração angular média
Conceito
Quando a velocidade angular não é constante, é importante entender como ela está aumentando ou diminuindo. Para isso, é necessário conhecer a taxa de mudança da velocidade angular por unidade de tempo, conhecida como aceleração angular ou desaceleração angular, dependendo se é um aumento ou uma diminuição na velocidade angular.
A aceleração angular é baseada na medição da variação da velocidade angular ao longo do tempo.
ID:(12519, 0)
Medindo a aceleração angular média
Top
A aceleração angular média é definida como a proporção em que a velocidade angular muda ao longo do tempo. Para medir essa quantidade com precisão, é necessário quantificar como a velocidade angular muda durante o curso do tempo.
A equação que descreve essa aceleração angular média é a seguinte:
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
É importante observar que a aceleração angular média é uma estimativa da aceleração angular real. No entanto, há um problema fundamental:
Se a aceleração angular variar ao longo do tempo, o valor da aceleração angular média pode diferir significativamente da aceleração angular média.
Portanto, a chave está em
Determinar a aceleração angular dentro de um intervalo de tempo suficientemente curto para minimizar qualquer variação significativa.
ID:(15519, 0)
Velocidade angular no caso de aceleração angular constante
Descrição
No caso de aceleração angular constante, a velocidade angular segue uma relação linear em função do tempo:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
que é representada no seguinte gráfico:
ID:(11429, 0)
Ângulo percorrido para aceleração angular constante
Conceito
Com la aceleração constante ($a_0$), a função de la velocidade angular ($\omega$) descreve uma linha cuja inclinação é igual à aceleração angular. Juntamente com la velocidade angular inicial ($\omega_i$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$), a relação é expressa pela equação:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Portanto, a área sob uma curva, que representa o deslocamento total, consiste em um retângulo e um triângulo:
O retângulo tem uma altura correspondente à velocidade inicial e uma base igual ao tempo decorrido. O triângulo, por outro lado, tem uma altura que é o produto da aceleração angular pelo tempo decorrido, e uma base que também é igual ao tempo. Com essas informações, o deslocamento total o ângulo ($\theta$) pode ser calculado usando o ângulo inicial ($\theta_0$) conforme mostrado abaixo:
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
ID:(11418, 0)
Aceleração tangencial, regra da mão direita
Imagem
A orientação da aceleração tangencial pode ser obtida utilizando a regra da mão direita, onde os dedos apontam em direção ao eixo e depois giram em direção ao raio:
ID:(11600, 0)
Modelo
Top
Cálculos
Variáveis
Parâmetros
Cálculos
Cálculos
Equação
$ a_0 = r \alpha_0 $
a = r * alpha
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $
alpha_m = alpha_0
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$
alpha_m = Domega / Dt
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $
Domega = omega - omega_0
$ \Delta t \equiv t - t_0 $
Dt = t - t_0
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$
omega = omega_0 + alpha_0 * ( t - t_0 )
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$
theta = theta_0 + omega_0 *( t - t_0 )+ alpha_0 *( t - t_0 )^2/2
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$
theta = theta_0 +( omega ^2 - omega_0 ^2)/(2* alpha_0 )
ID:(15424, 0)
Aceleração angular média
Equação
A taxa na qual a velocidade angular varia ao longo do tempo é definida como la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$). Para medi-la, é necessário observar la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).
A equação que descreve la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) é a seguinte:
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
A definição da aceleração angular média é baseada no ângulo percorrido
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
e no tempo decorrido
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
A relação entre os dois é definida como a aceleração angular média
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
dentro desse intervalo de tempo.
ID:(3234, 0)
Aceleração angular constante
Equação
Se a aceleração não varia, la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) será igual a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), o que é expresso como:
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
ID:(9873, 0)
Diferença de ângulos
Equação
Para descrever a rotação de um objeto, precisamos determinar la variação de ângulo ($\Delta\theta$). Isso é feito subtraindo o ângulo inicial ($\theta_0$) do valor alcançado pelo objeto durante sua rotação, que é O ângulo ($\theta$):
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 0)
Variação de velocidades angulares
Equação
A aceleração é definida como a variação da velocidade angular por unidade de tempo.
Portanto, a aceleração angular la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) pode ser expressa em termos da velocidade angular la velocidade angular ($\omega$) e do tempo la velocidade angular inicial ($\omega_i$) da seguinte forma:
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
ID:(3681, 0)
Tempo decorrido
Equação
Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido ($\Delta t$). Essa magnitude é obtida medindo o tempo inicial ($t_0$) e o o tempo ($t$) desse movimento. A duração é determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final:
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 0)
Velocidade angular com aceleração angular constante
Equação
Com la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) forma uma relação linear com o tempo ($t$), incorporando as variáveis la velocidade angular inicial ($\omega_i$) e o tempo inicial ($t_0$) da seguinte forma:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Se assumirmos que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) é constante, equivalente a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), então a seguinte equação se aplica:
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Portanto, considerando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto com la velocidade angular ($\omega$) e la velocidade angular inicial ($\omega_i$):
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
e o tempo decorrido ($\Delta t$) em relação a o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
a equação para la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pode ser expressa como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Resolvendo isso, obtemos:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Esta equação representa uma linha reta no plano de velocidade angular versus tempo.
ID:(3237, 0)
Ângulo para aceleração angular constante
Equação
Dado que o deslocamento total corresponde à área sob a curva de velocidade angular versus tempo, no caso de uma aceleração angular constante ($\alpha_0$), determina-se que o deslocamento o ângulo ($\theta$) com as variáveis o ângulo inicial ($\theta_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_i$) é o seguinte:
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) como função de o tempo ($t$) segue uma relação linear com o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_i$) na forma:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que o deslocamento angular é igual à área sob a curva de velocidade angular-tempo, neste caso, pode-se adicionar as contribuições do retângulo:
$\omega_0(t-t_0)$
e do triângulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Isso nos leva à expressão para o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$):
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Essa expressão corresponde à forma geral de uma parábola.
ID:(3682, 0)
Ângulo de frenagem em função da velocidade angular
Equação
No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), a função de la velocidade angular ($\omega$) em relação a o tempo ($t$), juntamente com as variáveis adicionais la velocidade angular inicial ($\omega_i$) e o tempo inicial ($t_0$), é expressa pela equação:
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
A partir desta equação, é possível calcular a relação entre o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$), bem como a mudança na velocidade angular:
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
Se resolvermos o tempo na equação de la velocidade angular ($\omega$) que inclui as variáveis la velocidade angular inicial ($\omega_i$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la aceleração angular constante ($\alpha_0$):
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtemos a seguinte expressão para o tempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta solução pode ser substituída na equação para calcular o ângulo ($\theta$) usando o ângulo inicial ($\theta_0$) da seguinte forma:
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
o que resulta na seguinte equação:
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
ID:(4386, 0)
Aceleração e aceleração angular
Equação
Se dividirmos a relação entre la velocidade média ($\bar{v}$), o rádio ($r$) e la velocidade angular média ($\bar{\omega}$), expressa na seguinte equação:
$ v = r \omega $ |
pelo valor de o tempo decorrido ($\Delta t$), podemos obter o fator que nos permite calcular a aceleração angular ao longo da órbita:
$ a_0 = r \alpha_0 $ |
$ a = r \alpha $ |
Dado que la aceleração média ($\bar{a}$) é igual a la diferença de velocidade ($\Delta v$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
$ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) é igual a la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) conforme
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
deduz-se que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Assumindo que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) é igual a la aceleração angular constante ($\alpha_0$)
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
e supondo que la aceleração média ($\bar{a}$) é igual a la aceleração constante ($a_0$)
$ a_0 = \bar{a} $ |
obtém-se a seguinte equação:
$ a = r \alpha $ |
ID:(3236, 0)