Oszillatoren einer Feder
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Bei der Feder ist die Kraft proportional zur Dehnung der Feder, so dass die Bewegungsgleichungen linear sind und die Frequenz der Schwingung von der Amplitude unabhängig ist. Dies ist der Schlüssel zur Erzeugung einer Schwingung, die nicht davon abhängt, dass die Reibung mit der Zeit abnimmt. Aus diesem Grund verwendeten alte Uhren (kreisförmige) Federn, um stabile Schwingungen zur Messung der verstrichenen Zeit zu erzeugen.
ID:(1425, 0)
Kinetische Energie als Funktion des Moments
Gleichung
Die kinetische Energie einer Masse $m$
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
kann in Abhängigkeit vom Impuls ausgedrückt werden als
$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
Da die kinetische Energie gleich ist
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
und der Impuls
$ p = m_i v $ |
können wir es ausdrücken als
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
oder
$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
ID:(4425, 0)
Elastische energie
Gleichung
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
la energía
$ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
En el caso elástico (resorte) la fuerza es
con
$ \Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energía potencial elástica es
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
ID:(3246, 0)
Harmonischer Oszillator (Feder), der $p-q$ darstellt
Gleichung
Für den Fall einer Masse, die mit einem Feder schwingt, ist die Energie als Funktion des Impulses $p$ und der Position $q$
$ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
Die kinetische Energie in Abhängigkeit vom Impuls ist gegeben durch
$ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
und die potenzielle Energie in Abhängigkeit von der Höhe ist
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
Wenn wir die Ausdehnung als Position ausdrücken
$x = q$
ergibt sich
$ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
Die Gleichung kann in einer dimensionslosen Form ausgedrückt werden als
$1=y^2 + x^2$
wobei
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
ist und
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
wenn wir nach
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Die Darstellung in der xy-Ebene ist unten dargestellt
ID:(1187, 0)
Periodo de la Oscilación
Gleichung
Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n
$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$
\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo
$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$
se tiene que
$ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$ |
ID:(7106, 0)
Schwingungen mit einer Feder
Gleichung
Eines der dargestellten Systeme ist das eines Federpendels. Dieses ist mit der elastischen Verformung des Materials verbunden, aus dem die Feder besteht. Wenn wir von "elastischer Verformung" sprechen, meinen wir eine Verformung, die nach Entfernen der aufgebrachten Spannung das System ermöglicht, seine ursprüngliche Form vollständig wiederzuerlangen. Dabei gehen wir davon aus, dass keine plastische Verformung auftritt.
Da die Energie des Federpendels gegeben ist durch
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
wird die Schwingungsdauer gleich sein zu
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
und somit ist die Winkelgeschwindigkeit
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
Da die kinetische Energie von der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ abhängt, ergibt sich
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
und die potenzielle Energie der Feder, die von der Federkonstanten $k$ und der Dehnung $x$ abhängt, ist
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
Daher wird die Gesamtenergie ausgedrückt als
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
Da die Periode ist
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
können wir die Winkelgeschwindigkeit berechnen als
$\omega_0=\displaystyle\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m_i}}$
was bedeutet, dass
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
ID:(1242, 0)
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Video
Video: Oszillatoren auf einer Feder