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Bernoulli com pressão hidrostática

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Se considerarmos um fluido sem viscosidade e sem turbulência (escoamento laminar), podemos supor que a energia é conservada e flui com o líquido (ou gás). Nestes casos, obtemos uma equação que estabelece que a soma da densidade de energia cinética e da densidade de energia potencial são constantes. Isso permite calcular como a velocidade evolui em função da posição desde que a pressão existente ou qualquer campo de força seja conhecido. O único problema é que a maioria dos meios apresenta viscosidade relevante e, portanto, tende a não ter turbulência ou esta é desprezível e o fluxo é intrinsecamente turbulento. Portanto, a aplicação da lei de Bernoulli é, nesse sentido, restrita, ou melhor, uma primeira aproximação.

>Modelo

ID:(684, 0)

Mecanismos

Descrição

<druyd>mechanisms</druyd>

ID:(15486, 0)

Movimento de um elemento líquido/gás com o fluxo

Descrição

Se considerarmos o fluxo como uma série de volumes com lados $\Delta x$, $\Delta y$ e $\Delta z$ se movendo na corrente, podemos assumir que a energia contida neles se mantém constante. Isso significa que, se calculamos a densidade de energia em qualquer ponto, ela será sempre a mesma. <druyd>image</druyd>

ID:(11097, 0)

Energia cinética do elemento no fluxo

Descrição

Se o meio possui uma densidade $\rho$, a massa do volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ pode ser calculada como: <meq>m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z</meq> A partir disso, podemos estimar a energia cinética do elemento utilizando a velocidade $v$: <meq>\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2</meq> Isso pode ser visualizado na seguinte imagem: <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia cinética é <meq>\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2</meq>

ID:(11101, 0)

Energia potencial gravitacional do elemento no fluxo

Descrição

Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l'élément et si nous orientons le système de coordonnées de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donné par : <meq>F\Delta x</meq> Si la force est générée par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire à la direction de la force, c'est-à-dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l'énergie sera: <meq>F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z</meq> Cela peut être visualisé dans l'image suivante : <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia potencial gravitacional é <meq>\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h</meq>

ID:(11102, 0)

Energia potencial geral do elemento no fluxo

Descrição

Se assumirmos que existe uma força atuando no elemento e se orientarmos o sistema de coordenadas de forma que essa força atue na direção x, então a força estará realizando um trabalho dado por: <meq>F\Delta x</meq> Se a força for gerada por uma pressão, então ela atuará na superfície perpendicular à direção da força, ou seja, $\Delta y \Delta z$. Portanto, a energia será: <meq>F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z</meq> Isso pode ser visualizado na seguinte imagem: <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia geral é <meq>\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p</meq>

ID:(11103, 0)

Densidade de energia

Descrição

A hipótese de Bernoulli postula que a energia é conservada localmente, ou seja, não existem mecanismos que permitam a um volume do meio trocar energia com o seu ambiente. Se analisarmos a equação de energia $E$, que inclui: • A energia cinética em função da massa $m$ e <var>5449</var>, • A energia potencial gravitacional dependente de <var>5310</var> e <var>5406</var>, • Uma força externa $F$ que impulsiona o líquido ao longo de uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma: <meq>E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x</meq> Considerando a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por <var>5342</var>: <meq>m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z</meq> E dado que <var>10114</var> é definido como: <meq>F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z</meq> Obtemos a equação de <var>4932</var>: <druyd>equation=3159</druyd> Em um contexto onde não há viscosidade, a conservação da energia sugere que <var>4932</var> se mantém constante em qualquer ponto do fluido. Assim, conhecer a velocidade e/ou a pressão em um local determinado do fluido permite estabelecer uma relação entre essas variáveis em qualquer outra parte do mesmo.

ID:(15708, 0)

A lei de Bernoulli e seus limites

Descrição

A hipótese da lei de Bernoulli é que a energia, e consequentemente <var>4932</var>, permanece constante. Nesse caso, a densidade de energia é a soma de: • Energia cinética, que depende de <var>5407</var> e <var>5449</var>, • Energia potencial gravitacional, que depende de <var>5310</var> e <var>5406</var>, • Energia potencial em geral, que depende de <var>5224</var>, resultando em: <druyd>equation=3159</druyd> No entanto, isso limita a aplicabilidade da lei porque: • A viscosidade é um processo no qual a energia se difunde pelo meio e, nesse sentido, a energia não é conservada localmente, pois é redistribuída no meio. • Vórtices não podem existir, pois eles inerentemente têm zonas de diferentes densidades de energia, o que vai contra a hipótese. Isso significa que não descreveria um fluxo turbulento. O problema é que na maioria dos casos, o fluxo pode ser dominado pela viscosidade, chamado de fluxo laminar, ou pela inércia, observado como fluxo turbulento. Portanto, a lei de Bernoulli é um modelo aplicável apenas em situações em que a inomogeneidade da densidade de energia é menor.

ID:(15500, 0)

Equação geral de Bernoulli

Descrição

Se assumirmos que <var>4932</var> é conservado, podemos afirmar que para uma célula onde a velocidade média é <var>5449</var>, a densidade é <var>5342</var>, a pressão é <var>10114</var>, a altura é <var>5406</var> e a aceleração gravitacional é <var>5310</var>, temos o seguinte: <druyd>equation=3159</druyd> Em um ponto 1, essa equação será igual à mesma equação em um ponto 2: <meq>e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)</meq> onde <var>5415</var>, <var>6259</var> e <var>6261</var> representam a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e <var>5416</var>, <var>6260</var> e <var>6262</var> representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente. Portanto, temos a equação de Bernoulli [1]: <druyd>equation=4504</druyd> <img src='/static/icons/pub20.png' /> [1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738) É importante ter em mente as seguintes suposições: <warning>A energia é conservada, especialmente assumindo a ausência de viscosidade.</warning> <warning>Não há deformação no meio, portanto, a densidade permanece constante.</warning> <warning>Não há vorticidade, ou seja, não há redemoinhos que gerem circulação no meio. O fluido deve exibir um comportamento laminar.</warning>

ID:(15707, 0)

Dispensador de perfume

Descrição

Nos dispensadores de perfume, é criado um fluxo de ar sobre um tubo imerso no perfume. Isso faz com que a pressão diminua, resultando em uma pressão menor na coluna de perfume em relação à coluna gerada pelo líquido dentro do frasco. Como resultado, o líquido é impulsionado através da coluna. No final, o líquido que chega à parte superior é pulverizado e transportado pelo jato de ar. <druyd>image</druyd> Para modelar o sistema, pode-se utilizar a lei de Bernoulli com a densidade do líquido <var>5407</var> e a altura <var>5310</var>. Se o ponto 1 estiver na base do tubo de transporte do líquido, então <var>5415</var> é nulo, <var>6259</var> é a profundidade do líquido ($h$), e <var>6261</var> é a pressão atmosférica. Se o ponto 2 estiver na saída superior do tubo de transporte do líquido, então <var>5416</var> é a velocidade com que o líquido emerge ($v$), <var>6260</var> é nulo, e <var>6262</var> é a pressão atmosférica. Portanto, a expressão <druyd>equation=4504</druyd> se reduz a <meq>\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 </meq> pois a pressão atmosférica é simplificada. Com isso, a velocidade com que o líquido emerge é: <meq>v = \sqrt{ 2 g h }</meq>

ID:(11096, 0)

Modelo

Descrição

<druyd>model</druyd>

ID:(15489, 0)

Bernoulli com pressão hidrostática

Descrição

Se considerarmos um fluido sem viscosidade e sem turbulência (escoamento laminar), podemos supor que a energia é conservada e flui com o líquido (ou gás). Nestes casos, obtemos uma equação que estabelece que a soma da densidade de energia cinética e da densidade de energia potencial são constantes. Isso permite calcular como a velocidade evolui em função da posição desde que a pressão existente ou qualquer campo de força seja conhecido. O único problema é que a maioria dos meios apresenta viscosidade relevante e, portanto, tende a não ter turbulência ou esta é desprezível e o fluxo é intrinsecamente turbulento. Portanto, a aplicação da lei de Bernoulli é, nesse sentido, restrita, ou melhor, uma primeira aproximação.

Variáveis

Símbolo

Texto

Variáve

Valor

Unidades

Calcular

Valeur MKS

Unidades MKS

$\Delta h$

Altura da coluna líquida

$\rho$

rho

Densidade

kg/m^3

$e_1$

e_1

Densidade de energia em 1

J/m^3

$e_2$

e_2

Densidade de energia em 2

J/m^3

$\Delta v$

Diferença de velocidade entre superfícies

m/s

$h_1$

h_1

Hauteur ou profondeur 1

$h_2$

h_2

Hauteur ou profondeur 2

$p_1$

p_1

Pressão na coluna 1

$p_2$

p_2

Pressão na coluna 2

$v_1$

v_1

Velocidade média do fluido no ponto 1

m/s

$v_2$

v_2

Velocidade média do fluido no ponto 2

m/s

Cálculos

Equação

Primeiro, selecione a equação:

para

, depois, selecione a variável:

para

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve

Dado

Calcular

Objetivo :

Equação

A ser usado

Equações

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p

Outra equa o til aquela que corresponde conserva o de energia, a qual aplic vel em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equa o cl ssica da energia $E$, que leva em conta a energia cin tica, a energia potencial gravitacional e uma for a externa que desloca o l quido por uma dist ncia $\Delta z$, podemos express -la da seguinte forma: <meq>E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x</meq> Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por: <meq>m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z</meq> E como a press o dada por: <meq>F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z</meq> Obtemos a equa o para a densidade de energia: <druyd>equation</druyd>

(ID 3159)

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p

(ID 3159)

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Dh = h_2 - h_1

(ID 4251)

$ dp = p - p_0 $

dp = p - p_0

(ID 4252)

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Dp = rho_w * g * Dh

Se houver <var>6273</var> entre dois pontos, conforme determinado pela equa o: <druyd>equation=4252</druyd> podemos usar <var>10114</var>, que definida como: <druyd>equation=4250</druyd> Isso resulta em: <meq>\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g</meq> Como <var>5446</var> : <druyd>equation=4251</druyd> <var>6273</var> pode ser expressa como: <druyd>equation</druyd>

(ID 4345)

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

rho * v_1 ^2/2+ rho * g * h_1 + p_1 = rho * v_2 ^2/2+ rho * g * h_2 + p_2

(ID 4504)

$ e_1 = e_2 $

e_1 = e_2

(ID 15499)

$ \Delta v = v_2 - v_1 $

Dv = v_2 - v_1

(ID 15502)

Exemplos

Mecanismos

<druyd>mechanisms</druyd>

(ID 15486)

Movimento de um elemento l quido/g s com o fluxo

Se considerarmos o fluxo como uma s rie de volumes com lados $\Delta x$, $\Delta y$ e $\Delta z$ se movendo na corrente, podemos assumir que a energia contida neles se mant m constante. Isso significa que, se calculamos a densidade de energia em qualquer ponto, ela ser sempre a mesma. <druyd>image</druyd>

(ID 11097)

Energia cin tica do elemento no fluxo

Se o meio possui uma densidade $\rho$, a massa do volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ pode ser calculada como: <meq>m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z</meq> A partir disso, podemos estimar a energia cin tica do elemento utilizando a velocidade $v$: <meq>\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2</meq> Isso pode ser visualizado na seguinte imagem: <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia cin tica <meq>\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2</meq>

(ID 11101)

Energia potencial gravitacional do elemento no fluxo

Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l' l ment et si nous orientons le syst me de coordonn es de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donn par : <meq>F\Delta x</meq> Si la force est g n r e par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire la direction de la force, c'est- -dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l' nergie sera: <meq>F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z</meq> Cela peut tre visualis dans l'image suivante : <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia potencial gravitacional <meq>\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h</meq>

(ID 11102)

Energia potencial geral do elemento no fluxo

Se assumirmos que existe uma for a atuando no elemento e se orientarmos o sistema de coordenadas de forma que essa for a atue na dire o x, ent o a for a estar realizando um trabalho dado por: <meq>F\Delta x</meq> Se a for a for gerada por uma press o, ent o ela atuar na superf cie perpendicular dire o da for a, ou seja, $\Delta y \Delta z$. Portanto, a energia ser : <meq>F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z</meq> Isso pode ser visualizado na seguinte imagem: <druyd>image</druyd> Portanto, a densidade da energia geral <meq>\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p</meq>

(ID 11103)

Densidade de energia

A hip tese de Bernoulli postula que a energia conservada localmente, ou seja, n o existem mecanismos que permitam a um volume do meio trocar energia com o seu ambiente. Se analisarmos a equa o de energia $E$, que inclui: • A energia cin tica em fun o da massa $m$ e <var>5449</var>, • A energia potencial gravitacional dependente de <var>5310</var> e <var>5406</var>, • Uma for a externa $F$ que impulsiona o l quido ao longo de uma dist ncia $\Delta z$, podemos express -la da seguinte forma: <meq>E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x</meq> Considerando a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por <var>5342</var>: <meq>m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z</meq> E dado que <var>10114</var> definido como: <meq>F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z</meq> Obtemos a equa o de <var>4932</var>: <druyd>equation=3159</druyd> Em um contexto onde n o h viscosidade, a conserva o da energia sugere que <var>4932</var> se mant m constante em qualquer ponto do fluido. Assim, conhecer a velocidade e/ou a press o em um local determinado do fluido permite estabelecer uma rela o entre essas vari veis em qualquer outra parte do mesmo.

(ID 15708)

A lei de Bernoulli e seus limites

A hip tese da lei de Bernoulli que a energia, e consequentemente <var>4932</var>, permanece constante. Nesse caso, a densidade de energia a soma de: • Energia cin tica, que depende de <var>5407</var> e <var>5449</var>, • Energia potencial gravitacional, que depende de <var>5310</var> e <var>5406</var>, • Energia potencial em geral, que depende de <var>5224</var>, resultando em: <druyd>equation=3159</druyd> No entanto, isso limita a aplicabilidade da lei porque: • A viscosidade um processo no qual a energia se difunde pelo meio e, nesse sentido, a energia n o conservada localmente, pois redistribu da no meio. • V rtices n o podem existir, pois eles inerentemente t m zonas de diferentes densidades de energia, o que vai contra a hip tese. Isso significa que n o descreveria um fluxo turbulento. O problema que na maioria dos casos, o fluxo pode ser dominado pela viscosidade, chamado de fluxo laminar, ou pela in rcia, observado como fluxo turbulento. Portanto, a lei de Bernoulli um modelo aplic vel apenas em situa es em que a inomogeneidade da densidade de energia menor.

(ID 15500)

Equa o geral de Bernoulli

Se assumirmos que <var>4932</var> conservado, podemos afirmar que para uma c lula onde a velocidade m dia <var>5449</var>, a densidade <var>5342</var>, a press o <var>10114</var>, a altura <var>5406</var> e a acelera o gravitacional <var>5310</var>, temos o seguinte: <druyd>equation=3159</druyd> Em um ponto 1, essa equa o ser igual mesma equa o em um ponto 2: <meq>e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)</meq> onde <var>5415</var>, <var>6259</var> e <var>6261</var> representam a velocidade, altura e press o no ponto 1, respectivamente, e <var>5416</var>, <var>6260</var> e <var>6262</var> representam a velocidade, altura e press o no ponto 2, respectivamente. Portanto, temos a equa o de Bernoulli [1]: <druyd>equation=4504</druyd> <img src='/static/icons/pub20.png' /> [1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738) importante ter em mente as seguintes suposi es: <warning>A energia conservada, especialmente assumindo a aus ncia de viscosidade.</warning> <warning>N o h deforma o no meio, portanto, a densidade permanece constante.</warning> <warning>N o h vorticidade, ou seja, n o h redemoinhos que gerem circula o no meio. O fluido deve exibir um comportamento laminar.</warning>

(ID 15707)

Dispensador de perfume

Nos dispensadores de perfume, criado um fluxo de ar sobre um tubo imerso no perfume. Isso faz com que a press o diminua, resultando em uma press o menor na coluna de perfume em rela o coluna gerada pelo l quido dentro do frasco. Como resultado, o l quido impulsionado atrav s da coluna. No final, o l quido que chega parte superior pulverizado e transportado pelo jato de ar. <druyd>image</druyd> Para modelar o sistema, pode-se utilizar a lei de Bernoulli com a densidade do l quido <var>5407</var> e a altura <var>5310</var>. Se o ponto 1 estiver na base do tubo de transporte do l quido, ent o <var>5415</var> nulo, <var>6259</var> a profundidade do l quido ($h$), e <var>6261</var> a press o atmosf rica. Se o ponto 2 estiver na sa da superior do tubo de transporte do l quido, ent o <var>5416</var> a velocidade com que o l quido emerge ($v$), <var>6260</var> nulo, e <var>6262</var> a press o atmosf rica. Portanto, a express o <druyd>equation=4504</druyd> se reduz a <meq>\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 </meq> pois a press o atmosf rica simplificada. Com isso, a velocidade com que o l quido emerge : <meq>v = \sqrt{ 2 g h }</meq>

(ID 11096)

Modelo

<druyd>model</druyd>

(ID 15489)

Conserva o da densidade de energia

Se a energia for conservada dentro dos volumes que fluem com o fluxo, ent o <var>10296</var> e <var>10297</var> devem ser iguais: <druyd>kyon</druyd> Isso s poss vel se a viscosidade for negligenci vel, pois ela est associada difus o de energia, e n o h v rtices presentes, os quais apresentam diferen as de energia devido s velocidades tangenciais variadas ao longo do raio do v rtice.

(ID 15499)

Densidade de energia

Uma vez que um fluido ou g s um cont nuo, o conceito de energia j n o pode ser associado a uma massa espec fica. No entanto, poss vel considerar a energia contida num volume do cont nuo e, ao dividir pela pr pria volume, obtemos <var>4932</var>. Portanto, com <var>5342</var>, <var>5449</var>, <var>5406</var>, <var>5310</var> e <var>10114</var>, temos: <druyd>kyon</druyd> o que corresponde equa o de Bernoulli.

(ID 3159)

Densidade de energia

(ID 3159)

Equa o geral de Bernoulli

Com <var>5415</var>, <var>6259</var> e <var>6261</var> representando a velocidade, altura e press o no ponto 1, respectivamente, e <var>5416</var>, <var>6260</var> e <var>6262</var> representando a velocidade, altura e press o no ponto 2, respectivamente, temos: <druyd>kyon</druyd>

(ID 4504)

Diferen a de press o entre colunas

A diferen a de altura, representada por <var>5446</var>, implica que a press o em ambas as colunas diferente. Em particular, <var>6273</var> uma fun o de <var>5407</var>, <var>5310</var> e <var>5446</var>, da seguinte forma: <druyd>kyon</druyd>

(ID 4345)

Diferen a de altura

Quando duas colunas de l quido s o conectadas com <var>5408</var> e <var>5409</var>, criada uma <var>5446</var>, que calculada da seguinte forma: <druyd>kyon</druyd> A <var>5446</var> ir gerar a diferen a de press o que far o l quido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

(ID 4251)

Diferen a de press o

Quando duas colunas de l quido s o conectadas com <var>6261</var> e <var>6262</var>, criada uma <var>6273</var> que calculada de acordo com a seguinte f rmula: <druyd>kyon</druyd> <var>6273</var> representa a diferen a de press o que far o l quido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

(ID 4252)

Diferen a de velocidade

(ID 15502)

ID:(684, 0)