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Turbulente Strömung durch Rohre

Storyboard

Wenn die Reynoldszahl über 2000 liegt, wird der Fluss in einem Rohr immer instabil und wird schließlich vollständig turbulent. Infolgedessen ist es nicht mehr möglich, die Viskositätsannahme für laminare Strömung zu verwenden, die zur Hagen-Poiseuille-Gesetz führt, und ein alternatives Modell ist erforderlich. Das Modell, das einen Fluss beschreibt, bei dem die Viskosität irrelevant ist, ist dasjenige, das zur Bernoulli-Gleichung führt. Dieses Modell geht jedoch davon aus, dass die Energiedichte erhalten bleibt. Eine Alternative besteht darin anzunehmen, dass Turbulenzen zu einer Durchmischung führen, bei der die Energiedichte nicht erhalten bleibt, sondern konstant bleibt. In diesem Fall kann der Fluss mit einer Gleichung modelliert werden, die der Bernoulli-Gleichung ähnelt, jedoch eine Korrektur zur Berücksichtigung der Homogenisierung aufgrund von Mischungseffekten enthält.

>Modell

ID:(1970, 0)

Turbulenzmodellierung

Beschreibung

Laminare Strömung wird durch "Schichten" beschrieben, die sich koordiniert mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. In turbulentem Fluss hingegen existieren solche Schichten nicht. Die Fluidelemente werden abgelenkt, können ihre Richtung ändern und nehmen oft in chaotischer Weise an kreisförmigen Bewegungen teil. Die erste Konsequenz davon ist, dass die Fluidparameter dazu neigen, sich zu vermischen, wodurch die Geschwindigkeitsunterschiede verschwinden und eine Art mittlere Geschwindigkeit entsteht. Durch Mittelung der Bewegung ergeben sich strukturierte Muster, die jedoch nicht mehr von individuellen Fluidelementen stammen, sondern eher von einer zeitlichen Mischung. Als Ergebnis entsteht ein relativ konstantes Profil, das den in laminarer Strömung definierten Profilen ähnelt, in diesem Fall jedoch Durchschnittswerte sind und weniger große Gradienten aufweisen, was sie gleichmäßiger macht. <druyd>image</druyd>

ID:(14525, 0)

Moody Diagramm

Beschreibung

Im Jahr 1944 maß Lewis Ferry Moody den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor als Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit der Wand, was zur Erstellung des folgenden Diagramms führte: <druyd>image</druyd> Die relative Rauheit kann geschätzt werden, indem die Größe der Oberflächenrauheit (Höhe der Vorsprünge oder Tiefe der Vertiefungen) im Verhältnis zum hydraulischen Durchmesser berücksichtigt wird. Es sind zwei unterschiedliche Verhaltensweisen zu beobachten: • Für Reynolds-Zahlen unter 2000 hängt der Darcy-Weisbach Reibungsfaktor nur von der Reynolds-Zahl ab und folgt einer Beziehung von $64/Re$. Dies entspricht dem laminaren Strömungsregime. • Für Reynolds-Zahlen über 2000 wird ein Verhalten beobachtet, das sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der relativen Rauheit der Oberfläche des Rohrs abhängt.

ID:(14528, 0)

Strömung an der laminaren Grenze

Beschreibung

Wenn wir den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor im laminaren Grenzbereich, wie durch <druyd>equation=14529</druyd> gegeben, in die Darcy-Weisbach-Gleichung einsetzen, die wie folgt ausgedrückt wird: <druyd>equation=14526</druyd> und die Definition der Reynolds-Zahl $Re$ verwenden, können wir zeigen, dass der Fluss durch <druyd>equation=3178</druyd> geregelt wird, was der Hagen-Poiseuille-Gleichung entspricht.

ID:(14530, 0)

Turbulentes Strömungsgeschwindigkeitsprofil im Rohr

Beschreibung

Das Geschwindigkeitsprofil eines turbulenten Strömungsverlaufs durch ein Rohr zeigt zwei verschiedene Zonen in Abhängigkeit von der Entfernung zur Oberfläche ($z$), wobei $\delta$ die Dicke der Grenzschicht darstellt. In der Nähe der Oberfläche ($z < \delta$) ist die Strömung im Wesentlichen laminar, während sie in der weiter entfernten Zone von der Oberfläche ($z > \delta$) turbulent wird. <druyd>image</druyd> Im laminaren Bereich ist die Geschwindigkeit proportional zur normierten Entfernung: <meq>u^+ = y^+</meq> Diese Beziehung ähnelt einem Hagen-Poiseuille-Geschwindigkeitsprofil nahe der Wand und stellt eine lineare Annäherung dar. Im turbulenten Bereich hat das normierte Geschwindigkeitsprofil eine logarithmische Form: <meq>u^+ = \displaystyle\frac{1}{\kappa} \ln\left(\displaystyle\frac{y^+}{y_0}\right)</meq> Hierbei ist $\kappa$ die Karman-Konstante (ungefähr $0,41$) und $y_0\sim 1/8$ ist der normierte Abstand, bei dem die Geschwindigkeit null wäre. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Breite der laminaren Schicht, wie im Diagramm gezeigt, etwa 7,072-mal größer ist als $y_0$.

ID:(14536, 0)

Turbulente Strömung durch Rohre

Beschreibung

Wenn die Reynoldszahl über 2000 liegt, wird der Fluss in einem Rohr immer instabil und wird schließlich vollständig turbulent. Infolgedessen ist es nicht mehr möglich, die Viskositätsannahme für laminare Strömung zu verwenden, die zur Hagen-Poiseuille-Gesetz führt, und ein alternatives Modell ist erforderlich. Das Modell, das einen Fluss beschreibt, bei dem die Viskosität irrelevant ist, ist dasjenige, das zur Bernoulli-Gleichung führt. Dieses Modell geht jedoch davon aus, dass die Energiedichte erhalten bleibt. Eine Alternative besteht darin anzunehmen, dass Turbulenzen zu einer Durchmischung führen, bei der die Energiedichte nicht erhalten bleibt, sondern konstant bleibt. In diesem Fall kann der Fluss mit einer Gleichung modelliert werden, die der Bernoulli-Gleichung ähnelt, jedoch eine Korrektur zur Berücksichtigung der Homogenisierung aufgrund von Mischungseffekten enthält.

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$S$

Abschnitt Fluss

m^2

$Re$

Anzahl der Reynold

$f_D$

f_D

Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor

$\rho$

rho

Dichte

kg/m^3

$\Delta p$

Druckunterschied

$j_s$

j_s

Flussdichte

m/s

$\rho_w$

rho_w

Flüssigkeitsdichte

kg/m^3

$R_H$

R_H

Hydraulischer Radius

$D_H$

D_H

Hydrodynamischer Durchmesser

$P_H$

P_H

Hydrodynamischer Umfang

$\Delta h$

Höhe der Flüssigkeitssäule

$\Delta h_d$

Dh_d

Höhe zum Ausgleich von Energieverlusten

$\Delta L$

Rohrlänge

$R$

Rohrradius

$h$

Tiefe in einer ungefüllten Tube

$R$

Typische Abmessungen des Systems

$P$

Umfang

$\epsilon$

Unebenheit

$\Delta p$

Variación de la Presión

$\eta$

eta

Viskosität

Pa s

$J_V$

J_V

Volumenstrom

m^3/s

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

$ Re =\displaystyle\frac{ \rho R v }{ \eta }$

Re = rho * R * v / eta

(ID 3177)

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Dp = rho_w * g * Dh

Wenn zwischen zwei Punkten <var>6273</var> existiert, wie durch die Gleichung bestimmt: <druyd>equation=4252</druyd> k nnen wir <var>10114</var> verwenden, definiert als: <druyd>equation=4250</druyd> Dies ergibt: <meq>\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g</meq> Da <var>5446</var> wie folgt definiert ist: <druyd>equation=4251</druyd> kann <var>6273</var> wie folgt ausgedr ckt werden: <druyd>equation</druyd>

(ID 4345)

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

j_s = J_V / S

Der Fluss wird als das Volumen <var>10290</var> geteilt durch die Zeit <var>5103</var> definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedr ckt wird: <druyd>equation=4347</druyd> und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfl che <var>6267</var> mit dem zur ckgelegten Weg <var>10291</var>: <druyd>equation=4346</druyd> Da der zur ckgelegte Weg <var>10291</var> pro Zeiteinheit <var>5103</var> der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt: <druyd>equation=4348</druyd> Somit ist der Fluss <var>7220,1</var>, der mit der folgenden Gleichung berechnet wird: <druyd>equation</druyd>

(ID 4349)

$ \Delta p = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ D_H } f_D \displaystyle\frac{1}{2} \rho_w j_s ^2 $

Dp = DL * f_D * rho_w * j_s ^2/(2* D_H )

(ID 14526)

$ D_H = \displaystyle\frac{ 4 S }{ P }$

D_H = 4 * S / P

(ID 14527)

$ f_D = \displaystyle\frac{64}{ Re }$

f_D = 64 / Re

(ID 14529)

$ R_H = \displaystyle\frac{ S }{ P_H }$

R_H = S / P_H

(ID 14531)

$ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{12 R_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

f_D = 25/(81*(log(( e /(12* R_H ))^1.11 + 6.9/ Re ))^2)

Die urspr ngliche L sung von S.E. Haaland lautet wie folgt: <meq>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/R_H}{12}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)</meq> Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck f r den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten: <druyd>equation</druyd>

(ID 14534)

$ f_D = \displaystyle\frac{25}{81 \log\left(\left(\displaystyle\frac{ \epsilon }{3.7 D_H }\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{ Re }\right)^2}$

f_D = 25/(81*(log(( e /(3.7* D_H ))^1.11 + 6.9/ Re ))^2)

Die urspr ngliche L sung von S.E. Haaland lautet wie folgt: <meq>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f_D}}=-1.8\log\left(\left(\displaystyle\frac{\epsilon/D_H}{3.7}\right)^{1.11} + \displaystyle\frac{6.9}{Re}\right)</meq> Sie kann umgestellt werden, um den Ausdruck f r den Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor $f_D$ wie folgt zu erhalten: <druyd>equation</druyd>

(ID 14535)

$ h = \left(\displaystyle\frac{3^2 S^2 }{2^3 R }\right)^{1/3}$

h = (3^2* S ^2/(2^3* R ))^(1/3)

<var>5405</var> des Rohrs, das die Fl ssigkeit enth lt, kann als Funktion von <var>10091</var> durch Integration ber den Radius bis <var>5417</var> ausgedr ckt werden: <meq>S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)</meq> Wenn wir diesen Ausdruck in Bezug auf den Faktor $h/R$ im Grenzwert $h\ll R$ entwickeln, erhalten wir im ersten Grad: <meq>S = \sqrt{\displaystyle\frac{2^3}{3^2} R h ^3}</meq> Wenn wir dies nach der Tiefe aufl sen, erhalten wir schlie lich: <druyd>equation</druyd>

(ID 14541)

$ P_H = \sqrt{2^5 R h }$

P_H = sqrt(2^5* R * h )

Da der Winkel zwischen dem Radius am Rand der Fl ssigkeitsoberfl che und der Vertikalen mit <var>10091</var> und <var>5417</var> berechnet werden kann, gilt: <meq>\phi =\arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)</meq> Der entsprechende Bogen ist $R\phi$, also betr gt der gesamte Bogen: <meq>2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)</meq> Analog dazu kann die halbe Oberfl che mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden, was zu folgendem Ergebnis f hrt: <meq>\sqrt{2Rh - h^2}</meq> Daher l sst sich <var>10088</var> wie folgt ausdr cken: <meq>P_H = 2\sqrt{2Rh - h^2}+2R\arcsin\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right)</meq> Im Grenzfall einer kleinen H he, wo $h\ll R$, kann diese Gleichung entwickelt werden und f hrt zu: <druyd>equation</druyd>

(ID 14542)

$ \Delta h_d = \displaystyle\frac{ \Delta L }{ 2 g D_H } f_D j_s ^2 $

Dh_d = DL * f_D * j_s ^2/(2* g * D_H )

(ID 15958)

Beispiele

Darcy-Weisbach-Gleichung

Wenn der Fluss in einem Rohr modelliert wird und angenommen wird, dass die Energiedichte erhalten bleibt, erh lt man die Bernoulli-Gleichung. Diese beschreibt den Fluss unter Verwendung von <var>6273</var> in Abh ngigkeit von <var>5407</var>, <var>5414</var> und <var>5556</var>: <druyd>equation=4835</druyd> Im Fall von turbulenter Str mung wirkt der Mischprozess wie eine Reibung, die den Geschwindigkeitsgradienten, der im laminaren Fluss zwischen der Mitte und den Rohrw nden vorhanden ist, verringert. Wenn wir annehmen, dass dieser Mischprozess durch einen einfachen Korrekturfaktor modelliert werden kann, gelangen wir empirisch zur Darcy-Weisbach-Gleichung, die <var>5822</var>, <var>5430</var> und <var>6612</var> einbezieht: <druyd>equation=14526</druyd> Der Faktor <var>5822</var> wurde empirisch f r verschiedene Str mungsbedingungen bestimmt und wird in Abh ngigkeit von <var>5432</var> ausgedr ckt.

(ID 15893)

Moody Diagramm

Im Jahr 1944 ma Lewis Ferry Moody den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor als Funktion der Reynolds-Zahl und der relativen Rauheit der Wand, was zur Erstellung des folgenden Diagramms f hrte: <druyd>image</druyd> Die relative Rauheit kann gesch tzt werden, indem die Gr e der Oberfl chenrauheit (H he der Vorspr nge oder Tiefe der Vertiefungen) im Verh ltnis zum hydraulischen Durchmesser ber cksichtigt wird. Es sind zwei unterschiedliche Verhaltensweisen zu beobachten: • F r Reynolds-Zahlen unter 2000 h ngt der Darcy-Weisbach Reibungsfaktor nur von der Reynolds-Zahl ab und folgt einer Beziehung von $64/Re$. Dies entspricht dem laminaren Str mungsregime. • F r Reynolds-Zahlen ber 2000 wird ein Verhalten beobachtet, das sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der relativen Rauheit der Oberfl che des Rohrs abh ngt.

(ID 14528)

Hydraulischer Durchmesser

Im Zusammenhang mit der Darcy-Weisbach-Gleichung wird <var>6612,1</var> verwendet, was einer Verallgemeinerung des traditionellen Durchmessers eines Kreises entspricht. Dies erm glicht es, einen nicht kreisf rmigen Querschnitt zu betrachten und einen quivalenten Durchmesser basierend auf der Fl che von <var>6267</var> und <var>5818</var> mit der folgenden Formel zu berechnen: <druyd>equation=14527</druyd> F r einen kreisf rmigen Querschnitt erhalten wir den traditionellen Durchmesser eines Kreises wie folgt: <meq>D_H = \displaystyle\frac{4 S}{P} = \displaystyle\frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R</meq>

(ID 15894)

Hydraulischer Radius

Im Zusammenhang mit dem Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor wird <var>5816,1</var> verwendet, was eine Verallgemeinerung des traditionellen Radius eines Kreises darstellt. Auf diese Weise ist es m glich, einen Durchmesser basierend auf der Fl che von <var>6267</var> und dem Umfang im Kontakt mit <var>10088</var> mithilfe der folgenden Formel zu berechnen: <druyd>equation=14531</druyd> F r einen kreisf rmigen Querschnitt k nnen wir den traditionellen hydraulischen Radius eines Kreises wie folgt berechnen: <meq>R_H = \displaystyle\frac{S}{P} = \displaystyle\frac{\pi R^2}{2 \pi R} = \displaystyle\frac{1}{2} R</meq>

(ID 15895)

Tiefe einer ungef llten R hre

In einem zylindrischen Rohr ist die Tiefe wie folgt mit dem Durchfluss verbunden: <druyd>image</druyd> Durch die Integration von <var>5405</var> k nnen wir berechnen, wie sich die Fl che in Abh ngigkeit von <var>10091</var> ber das Integral bis zum Radius <var>5417</var> ndert, was ergibt: <meq>S = 2\displaystyle\int_0^h dz \sqrt{2Rz - z^2}=\displaystyle\frac{1}{2}(R-h)\sqrt{2Rh - h^2}+\displaystyle\frac{1}{2}R^2\arcsin\left(\displaystyle\frac{1-h}{R}\right)</meq> Bei kleinen Durchfl ssen, bei denen die Tiefe deutlich geringer ist als der Radius, vereinfacht sich die Beziehung zwischen Querschnittsfl che und Tiefe erheblich. Durch L sen der Gleichung f r die Tiefe erhalten wir: <druyd>equation=14541</druyd>

(ID 15896)

Hydrodynamischer Umfang im ungef llten Rohr

<var>10088</var> in einem teilweise gef llten Rohr entspricht den R ndern des Querschnitts, die mit der Fl ssigkeit in Kontakt stehen, also dem Bogen, der sowohl die Rohrwand als auch die Oberfl che ber hrt: <druyd>image</druyd> Dementsprechend kann es allgemein als Funktion von <var>5417</var> und <var>10091</var> ausgedr ckt werden: <meq>P_H = 2 R \arccos\left(1-\displaystyle\frac{h}{R}\right) + 2\sqrt{2Rh-h^2}</meq> F r kleine Durchfl sse, bei denen die Tiefe deutlich kleiner als der Radius ist, vereinfacht sich diese Beziehung zwischen dem Querschnitt und der Tiefe zu: <druyd>equation=14542</druyd>

(ID 15897)

Str mung an der laminaren Grenze

Wenn wir den Darcy-Weisbach Reibungsfaktor im laminaren Grenzbereich, wie durch <druyd>equation=14529</druyd> gegeben, in die Darcy-Weisbach-Gleichung einsetzen, die wie folgt ausgedr ckt wird: <druyd>equation=14526</druyd> und die Definition der Reynolds-Zahl $Re$ verwenden, k nnen wir zeigen, dass der Fluss durch <druyd>equation=3178</druyd> geregelt wird, was der Hagen-Poiseuille-Gleichung entspricht.

(ID 14530)

Darcy-Weisbach-Gleichung

Die Darcy-Weisbach-Gleichung erm glicht die Berechnung von <var>6273</var> in Abh ngigkeit von <var>5407</var>, <var>6612</var>, <var>5822</var>, <var>5430</var> und <var>5414</var> durch: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14526)

Volumenstrom und seine Geschwindigkeit

<var>7220,1</var> kann in Bezug auf <var>5448</var> durch <var>5405</var> mit der folgenden Formel dargestellt werden: <druyd>kyon</druyd>

(ID 4349)

Hydraulischer Durchmesser

<var>6612</var> kann aus <var>6267</var> und <var>5818</var> berechnet werden mittels: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14527)

Hydraulischer Radius

<var>5816</var> kann mithilfe von <var>6267</var> und <var>10088</var> berechnet werden durch: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14531)

Tiefe einer ungef llten R hre

<var>10091</var> kann gesch tzt werden, wenn der Fl ssigkeitsstand niedrig ist, also deutlich kleiner als der Radius des Rohrs, in Abh ngigkeit von <var>5405</var> und <var>5417</var>: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14541)

Hydrodynamischer Umfang im ungef llten Rohr

<var>10088</var> kann aus <var>10091</var> und <var>5417</var> berechnet werden mittels: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14542)

Reynold Zahl

Das entscheidende Kriterium zur Bestimmung, ob ein Medium laminar oder turbulent ist, ist die sogenannte Reynolds-Zahl, die die Energie, die mit der Tr gheit verbunden ist, mit derjenigen vergleicht, die mit der Viskosit t verbunden ist. Erstere h ngt von <var>5342</var>, <var>5414</var> und <var>5433</var> ab, w hrend letztere von <var>5422</var> abh ngt. Sie wird definiert als: <druyd>kyon</druyd>

(ID 3177)

Laminare Grenze

Im Grenzbereich niedriger <var>5432</var> zeigt das Moody-Diagramm, dass <var>5822</var> gleich ist: <druyd>kyon</druyd> wobei $Re$ die Reynoldszahl ist. Dies gilt f r Reynoldszahlen bis zu 2000. ber diesem Wert beginnt die Wandrauheit den Str mungsverlauf zu beeinflussen und die Bildung von Turbulenzen zu f rdern.

(ID 14529)

L sung f r geschlossene R hren

Die Colebrook-White-Gleichung f r den Fall eines geschlossenen Rohres: <druyd>equation=14532</druyd> ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur L sung dieser Gleichung wurden verschiedene N herungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexit t und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten N herungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14535)

L sung f r offene R hren

Die Colebrook-White-Gleichung f r den Fall eines geschlossenen Rohres: <druyd>equation=14533</druyd> ist eine implizite Gleichung, die zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors ($f_D$) verwendet wird. Zur L sung dieser Gleichung wurden verschiedene N herungsverfahren entwickelt, die in Bezug auf Komplexit t und Genauigkeit variieren. Eine der effektivsten N herungen, die einen weiten Bereich von Reynolds-Zahlen $Re$ abdeckt, stammt von S.E. Haaland: <druyd>kyon</druyd>

(ID 14534)

Druckunterschied zwischen S ulen

Der H henunterschied, dargestellt durch <var>5446</var>, bedeutet, dass der Druck in beiden S ulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist <var>6273</var> eine Funktion von <var>5407</var>, <var>5310</var> und <var>5446</var>, wie folgt: <druyd>kyon</druyd>

(ID 4345)

Energieverlust durch Turbulenzen und Reibung

(ID 15958)

ID:(1970, 0)