Se puede dar que deseamos derivar respecto de una variable x pero la funci n depende de esta pero multiplicada por otra variable. Un ejemplo ser a

f(x)=\cos(ax)

Como la derivada de una funci n \cos(u) en u es conocida se puede hacer lo que se denomina un cambio de variable. En este caso bastar a introducir un u de la forma

u=ax

Para transformar la derivada en x en una en u se trabaja con lo que se denomina la regla de la cadena (notaci n de Leibniz)

Con ello en nuestro ejercicio anterior se tiene\displaystyle\frac{d}{dx}\cos(ax)=\displaystyle\frac{df}{du}\displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{d}{du}\cos(u)\displaystyle\frac{d}{dx}(ax)=-sin(ax)a

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La derivada parcial de la multiplicaci n de una constante y una funci n es igual a la constante multiplicada por la derivada parcial de la funci n. Si c es la constante, f la funci n y x la variable en que se esta derivando, se tiene que:

Nota: la constante puede depender en particular de todas las dem s variables fuera de la variable en que se esta derivando.

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La derivada se define como la proporci n de la variaci n de una funci n con respecto de la variaci n de la variable de la que depende en el limite de dicha variaci n tiende a cero:

La derivada tambi n se puede realizar con ayuda del programa wxMaxima. En ese caso se empela la funci n diff. Para el caso que se quiere derivar la funci n a,x\cos(x) en la variable x se escribe```diff(a*x*cos(x),x,1)```donde el primer argumento es la funci n, el segundo la variable que se deriva y el tercero el orden.

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Una derivada parciales corresponde a una derivada (ordinaria) de una funci n multi variable sobre una de dichas variables manteniendo todas las restantes variables como constante.

Si una funci n f, que depende de las variables son x_1,,x_2,,x_3,\ldots x_n, se pretende derivar en forma parcial respecto de x_i, la derivada se escribe como

en donde los a_i representan los valores constantes de las dem s variables.

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La derivada corresponde geometricamente a la pendiente de una curva en un punto. Esta se calcula como la relaci n del incremento de la altura por el largo de la base de un triangulo que se dibuje con dos puntos pr ximos sobre la curva.Es f cil ver que si la curva presenta alg n grado de curvatura ambos puntos tienen que estar muy pr ximos para que el valor estimado corresponda realmente a la pendiente.

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En el caso de una divisi n de funciones el proceso es algo mas complejo ya que se rigen por:

Como ejemplo si tenemos las funciones y sus correspondientes derivadasf(x)=x^2\longrightarrow f'(x)=2xyg(x)=cos(x)\longrightarrow g'(x)=-sin(x)la derivada de la divisi n sera(\displaystyle\frac{f}{g})'=(\displaystyle\frac{x^2}{\cos(x)})'=\displaystyle\frac{f'g-fg'}{g^2}=\displaystyle\frac{2x\cos(x)+x^2\sin(x)}{\cos^2x}

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Las derivadas son claves en la formulaci n de la mayor parte de las leyes que existen en f sica. Por ello es importante comprender como act an las derivadas y en que forma las podemos calcular.

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Algunas veces tenemos que calcular derivadas de funciones compuestas, es decir expresiones que son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de dos o mas funciones.Finalmente toda expresi n se puede reducir a sumas, multiplicaciones y divisiones de funciones.

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La derivada parcial del producto de dos funci n es igual a la suma de los productos en que cada vez se deriva en forma parcial una de las funciones. Si f y g son las funci n y x la variable en que se esta derivando, se tiene que:

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La derivada parcial de la suma de dos funci n es igual a la suma de la derivada parcial de la cada funci n. Si f y g son las funci n y x la variable en que se esta derivando, se tiene que:

(ID 3280)