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Los métodos para resolver en forma analítica los sistemas de ecuaciones.

>Modelo

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Definición

La regla de Cramer permite resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma

\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\ldots}&{a_{1N}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\ldots}&{a_{2N}}\\{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\{a_{N1}}&{a_{N2}}&{\ldots}&{a_{NN}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{\ldots}\\{x_N}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\\{\ldots}\\{b_N}\end{bmatrix}

mediante el calculo de determinantes. Para el calculo de la variable x_i se reemplaza en la matriz la columna i por el vector \vec{b} creando una matriz \hat{b}_i.

\hat{b}_i=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{\ldots}&{b_1}&{\ldots}&{a_{1N}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\ldots}&{b_2}&{\ldots}&{a_{2N}}\\{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\{a_{N1}}&{a_{N2}}&{\ldots}&{b_N}&{\ldots}&{a_{2N}}\end{bmatrix}

El valor de x_i se calcula entonces de la proporción de las determinante \hat{b}_i y la determinante de \hat{a}:

x_i=\displaystyle\frac{\det\hat{b}_i}{\det\hat{a}}

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Imagen

En el caso de tres dimensiones el calculo de la determinante permite en forma simple sumar las sub-matrices como se señala:

\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{bmatrix}=a_{11}\begin{bmatrix}{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{32}}&{a_{33}}\end{bmatrix}-a_{12}\begin{bmatrix}{a_{21}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{33}}\end{bmatrix}+a_{13}\begin{bmatrix}{a_{21}}&{a_{22}}\\{a_{31}}&{a_{32}}\end{bmatrix}

Esto puede ser construido simplemente recorriendo la matriz sumando productos que se calculan con las diagonales hacia la derecha menos aquellas hacia la izquierda:

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Nota

En física encontramos frecuentemente que la solución de un problema no esta descrita por una ecuación si no que por varias ecuaciones.

Dichos sistemas de ecuaciones pueden o no ser lineales. El el ultimo caso es siempre posible buscar una solución analítica.

En un sistema de ecuaciones existen variables, que denominaremos x_j donde el indice j corre de 1 al numero de ecuaciones N, y parámetros a y b. Los parámetros a son aquellos que multiplican en cada ecuación las variables x_j. Como existen N ecuaciones los parámetros a llevan tanto un indice de la ecuación a la que corresponden i y la variable j que multiplican. Por ello la notación es a_{ij}. El parámetros b representa el valor de cada ecuación por lo que debe llevar el indice i o sea sería b_i.

Con esta descripción las N ecuaciones se escriben como

a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1N}x_N=b_1

a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2N}x_N=b_2

\ldots

a_{N1}x_1+a_{N2}x_2+\ldots+a_{NN}x_N=b_N

o en forma resumida usando el símbolo suma

\displaystyle\sum_{j=0}^Na_{ij}x_j=b_i

El numero de ecuaciones lo llamamos las dimensiones del sistema. El numero de coeficientes a es N^2 y de b es N por lo que el número total de parámetros es N^2+N=N(N+1).

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Cita

El método de reducción consiste en 'reducir' sistemáticamente variables en los sistemas de ecuaciones simplemente 'multiplicando y restando' lineas entre ellas. Si el sistema es

a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1

a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2

podemos eliminar la variable x_1 multiplicando cada linea de modo de que el elemento en x_1 se vuelva igual en ambas ecuaciones. Para ello basta multiplicar la primera con el parámetro de la segunda (a_{12}) y la segunda con el de la primera (a_{11}). De esta forma se obtiene

a_{11}a_{21}x_1+a_{12}a_{21}x_2=b_1a_{21}

a_{11}a_{21}x_1+a_{11}a_{22}x_2=a_{11}b_2

Si ahora se resta la segunda de la primera se obtiene

a_{12}a_{21}x_2-a_{11}a_{22}x_2=b_1a_{21}-a_{11}b_2

con lo que se obtiene trivialmente

x_2=\displaystyle\frac{b_1a_{21}-a_{11}b_2}{a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22}}

En forma similar se puede reducir x_2 y obtener una ecuación para x_1. Para sistemas de más dimensiones se debe repetir el procesos hasta reducir todas las variables y obtener así una ecuación que solo depende de una variable a la vez.

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