La clave del modelo de Zaider Minerbo es la introducci n y soluci n de una ecuaci n diferencial que permite determinar como varia la probabilidad de tener una poblaci n de $i$ c lulas cancer genas en el tiempo $P_i(t)$. Para ello introduce los factores probabilidad de nacimiento de una c lula $b$, de muerte natural $d$ y de muerte por efecto del tratamiento $h$. Con ello la probabilidad varia en funci n de c lulas que alcanzan la el universo de $i$ c lulas por:

* nacimiento de una c lula en la poblaci n $P_{i-1}$
* por muerte de una c lula en la poblaci n $P_{i+1}$

Ademas considera que el n mero se reduce en la medida que:

* muere una c lula aumentando la poblaci n de $P_{i-1}$
* nace una nueva aumentando la poblaci n de $P_{i+1}$

De esta forma la ecuaci n resultante es:


equation

Para mayores detalles se puede consultar el paper original en:

Tumour control probability: a formulation applicable to any temporal protocol of dose delivery
M.Zaider and G.N.Minerbo

[Phys. Med. Biol. 45 (2000) 279x96293](http://downloads.gphysics.net/papers/ZaiderMinerbo2000.pdf)

Para resolver la ecuaci n del modelo de Zaider-Minerbo se piuede introducir la funci n generatriz

equation

Con la funci n generatriz

equation=8809

con las derivadas

$P_i(t)=\displaystyle\frac{1}{i!}[\displaystyle\frac{\partial^i}{\partial s^i}A]_{s=0}$

se puede reescribir la ecuaci n de Zaider Minerbo

equation=4705

en funci n A debe satisfacer la siguiente ecuaci n diferencial parcial:

equation

Al resolver la ecuaci n del modelo de Zaider-Minerbo

equation=8810

se define la funci n lambda

equation

El $h$ que se empela para calcular el Lambda del modelo de Zaider-Minerbo se calcula mediante la ecuaci n:

equation

En un tiempo dt y las N c lulas se multiplicar n en una tasa b por lo que habra un total de

bNdt

c lulas nuevas. En el mismo tiempo dt de las N c lulas mor an por causas naturales una fracci n d por lo que se perder n

dNdt

Si a esto se le suma que una fracci n h muere por efecto de la radiaci n se tiene que el numero total variara en

dN=bNdt - (d+h)Ndt

o sea que el proceso esta descrito por la ecuaci n

equation

donde la funci n h puede variar en el tiempo.