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Ecuación de Probabilidad Modelo Zaider-Minerbo
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La clave del modelo de Zaider Minerbo es la introducción y solución de una ecuación diferencial que permite determinar como varia la probabilidad de tener una población de $i$ células cancerígenas en el tiempo $P_i(t)$. Para ello introduce los factores probabilidad de nacimiento de una célula $b$, de muerte natural $d$ y de muerte por efecto del tratamiento $h$. Con ello la probabilidad varia en función de células que alcanzan la el universo de $i$ células por:

* nacimiento de una célula en la población $P_{i-1}$
* por muerte de una célula en la población $P_{i+1}$

Ademas considera que el número se reduce en la medida que:

* muere una célula aumentando la población de $P_{i-1}$
* nace una nueva aumentando la población de $P_{i+1}$

De esta forma la ecuación resultante es:


$\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$

Para mayores detalles se puede consultar el paper original en:

Tumour control probability: a formulation applicable to any temporal protocol of dose delivery
M.Zaider and G.N.Minerbo

[Phys. Med. Biol. 45 (2000) 279–293](http://downloads.gphysics.net/papers/ZaiderMinerbo2000.pdf)

ID:(4705, 0)


Función Generatriz
Ecuación

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Para resolver la ecuación del modelo de Zaider-Minerbo se piuede introducir la función generatriz

$A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$

ID:(8809, 0)


Ecuación del Modelo de Zaider-Minerbo
Ecuación

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Con la función generatriz

$A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$



con las derivadas

$P_i(t)=\displaystyle\frac{1}{i!}[\displaystyle\frac{\partial^i}{\partial s^i}A]_{s=0}$

se puede reescribir la ecuación de Zaider Minerbo

$\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$



en función A debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial parcial:

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$

ID:(8810, 0)


Factor Lambda

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Al resolver la ecuación del modelo de Zaider-Minerbo

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$



se define la función lambda

$\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$

ID:(8808, 0)


Función de Mortandad
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El $h$ que se empela para calcular el Lambda del modelo de Zaider-Minerbo se calcula mediante la ecuación:

$h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

ID:(8807, 0)


Dinámica de Celulas
Ecuación

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En un tiempo dt y las N células se multiplicarán en una tasa b por lo que habra un total de

bNdt

células nuevas. En el mismo tiempo dt de las N células morían por causas naturales una fracción d por lo que se perderán

dNdt

Si a esto se le suma que una fracción h muere por efecto de la radiación se tiene que el numero total variara en

dN=bNdt - (d+h)Ndt

o sea que el proceso esta descrito por la ecuación

$\displaystyle\frac{d}{dt}N=bN-(d+h(t))N$

donde la función h puede variar en el tiempo.

ID:(8747, 0)