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Gaußsche Verteilung
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In der Grenze ähnlicher Wahrscheinlichkeiten wird die Binomialverteilung in der kontinuierlichen Grenze zur Gaußschen Verteilung reduziert.

>Modell

ID:(1556, 0)

Beispielvergleich mit der Gaußschen Verteilung
Beschreibung

Wenn wir die Binomialverteilung für große Zahlen N und Wahrscheinlichkeiten um 1/2 untersuchen

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$



welches unten dargestellt ist:


ID:(7793, 0)

Gaußsche Verteilung
Beschreibung

In der Grenze ähnlicher Wahrscheinlichkeiten wird die Binomialverteilung in der kontinuierlichen Grenze zur Gaußschen Verteilung reduziert.

Variablen
Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
$\sigma$
sigma
Desviación estándar de Gauss
-
$q$
q
Número de pasos hacia la derecha
-
$n_1$
n_1
Número de pasos hacia la izquierda
-
$N$
N
Número total de pasos
-
$n$
n
Número totales de pasos a la izquierda
-
$u$
u
Parameter $u$
-
$s$
s
Posición camino aleatorio
m
$\mu$
mu
Posición media
m
$P_N(m)$
P_Nm
Probabilidad de $n_1$ de $N$ pasos hacia la izquierda
-
$p$
p
Probabilidad de pasos hacia la izquierda
-
$a$
a
Schrittlänge
m
$n$
n
Zahl
-

Berechnungen

Zuerst die Gleichung auswählen:   zu ,  dann die Variable auswählen:   zu 
Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

 Variable   Gegeben   Berechnen   Ziel :   Gleichung   Zu verwenden


Gleichungen

Beispiele

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el n mero total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribuci n binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$


(ID 8961)

Mit der Stirling-N herung

equation=8966

und die nderung von Variablen

equation=8996

du verstehst das

equation

(ID 8998)

Mit der Stirling-N herung

equation=8966

und die nderung von Variablen

equation=11431

du verstehst das

equation

(ID 9003)

Mit der Stirling-N herung

equation=8966

und die nderung von Variablen

equation=8997

der Ausdruck ist

equation

(ID 8999)

Bei mittleren Wahrscheinlichkeiten p \sim q \sim 1/2 ) und gro en Zahlen N kann dies angezeigt werden

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$



$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$



und

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$



bekommst

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$


(ID 507)

Der Ausdruck

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$



wird reduziert um

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$



zur Darstellung

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$


(ID 506)

Wenn insgesamt N Schritte mit einer Wahrscheinlichkeit p in der richtigen Richtung ausgef hrt werden und diese eine L nge a haben, ist die erwartete Endposition

$\mu=aNp$


(ID 9008)

Um die Gau sche Verteilung zu erhalten, ist es notwendig, die Verteilung um ihre Abweichung von ihrer mittleren Position zu entwickeln, die durch gegeben sein kann

$x=(n-Np)a$


(ID 8973)

Wie der Weg ist

$x=(n-Np)a$



Faktor n/N kann geschrieben werden als

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$


(ID 9004)

Wie der Weg ist

$x=(n-Np)a$



Faktor n/N kann geschrieben werden als

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$


(ID 9005)

Wenn gro e Zahlen und Wahrscheinlichkeiten um 1/2 in die Binomialverteilung f r den Fall eingegeben werden

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$



die Ausdr cke

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$



und

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$




Man erh lt eine Verteilung der Form

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

(ID 8974)

Um den Faktor 1+x/aNp zu entwickeln, k nnen Sie mit der Variablen nderung arbeiten

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$


(ID 9021)

Mit der Ann herung

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$



es muss

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$


(ID 9006)

Um den Faktor 1+x/aN(1-p) zu entwickeln, k nnen Sie mit der Variablen nderung arbeiten

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$


(ID 9022)

Mit der Ann herung

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$



es muss

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$


(ID 9007)

Es kann gezeigt werden, dass f r eine gro e Anzahl N und eine Wahrscheinlichkeit p, die weder zu klein noch zu nahe bei 1 liegt, die Binomialverteilung f r die Position auf einen Gau schen Wert reduziert wird x= na:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$



In diesem Fall wurde die Wahrscheinlichkeit q durch 1-p ersetzt.

(ID 3367)

$\begin{matrix}
P(x) & = & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\\
\sigma^2 & = & Np(1-p)\\
\end{matrix}
$

(ID 3368)

Die Standardabweichung der Binomialverteilung an der Grenze N gro und p mittel ist

$ \sigma^2 = N ^2 p (1- p )$

(ID 8963)

Wenn wir die Binomialverteilung f r gro e Zahlen N und Wahrscheinlichkeiten um 1/2 untersuchen

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$



welches unten dargestellt ist:


(ID 7793)

ID:(1556, 0)