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Harmonic oscillator
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With the harmonic oscillator, we can explore the probability of finding a particle within a particular position or velocity range. This helps us understand how phase space is utilized in terms of both momentum and position.

>Model

ID:(1558, 0)

Harmonic Oscillator Model
Description

A harmonic oscillator is a system that is exposed to a force proportional to the distance to the equilibrium point that it always opposes when moving away from it. An example of a harmonic oscillator is represented by a mass attached to two springs:


ID:(11462, 0)

Harmonic Oscillator Phase Space Curve
Description

La energía de un oscilador armónico con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$ es

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



lo que se representa como la elipse que muestra la gráfica:


ID:(11467, 0)

Curved range of the phase space of the harmonic oscillator
Description

Probability only makes sense insofar as it refers to a range since otherwise it would be null. In the case of the harmonic oscillator, the range in which we seek to study is that of energy, that is, the energy of the system is between E and E+dE. If it is represented in the phase space, there is a range:


ID:(11468, 0)

Probability of finding the harmonic oscillator in one position
Description

The probability of finding the particle in a position between q and q+dq corresponds to estimating the states in this range with respect to all the states for which the energy is between E and E+dE:


ID:(11469, 0)

Probability of finding the harmonic oscillator with a moment
Description

The probability of finding the particle with a memento between p and p+dp corresponds to estimating the states in this range with respect to all the states for which the energy is between E and E+dE:


ID:(11470, 0)

Harmonic oscillator
Description

With the harmonic oscillator, we can explore the probability of finding a particle within a particular position or velocity range. This helps us understand how phase space is utilized in terms of both momentum and position.

Variables
Symbol
Text
Variable
Value
Units
Calculate
MKS Value
MKS Units
$S$
S
Acción
J s
$k$
k
Constante del resorte
N/m
$r$
r
Curvature radio
m
$p(p)$
p_p
Densidad de probabilidad de un momento
-
$p(q)$
p_q
Densidad de probabilidad de un posición
-
$a$
a
Eje mayor de la elipse
m
$b$
b
Eje menor de la elipse
kg m/s
$dE$
dE
Elemento de energía
J
$dS$
dS
Elemento de superficie de acción
J s
$E$
E
Energía del sistema
J
$S$
S
Entropia del sistema
J/K
$m$
m
Masa de la partícula
kg
$p$
p
Momento de la partícula
kg m/s
$\vec{q}$
&q
Posición
m
$dp$
dp
Rango de momento
kg m/s
$dq$
dq
Rango de posición
m
$S$
S
Surface of Air Bubble
m^2

Calculations

First, select the equation:   to ,  then, select the variable:   to 
Symbol
Equation
Solved
Translated

Calculations

Symbol
Equation
Solved
Translated

 Variable   Given   Calculate   Target :   Equation   To be used


Equations

Examples

A harmonic oscillator is a system that is exposed to a force proportional to the distance to the equilibrium point that it always opposes when moving away from it. An example of a harmonic oscillator is represented by a mass attached to two springs:


(ID 11462)

En el caso cl sico de una part cula de masa m en un potencial arm nico con constante k el sistema puede aceder a cualquier estado (q,p) mientras su energ a sea con

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$

(ID 3421)

La ecuaci n de la energ a del oscilador arm nico con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$



se puede reescribir en la forma t pica de una ecuaci n de una elipse con constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $


$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



with major axes

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$



and the minor axis

$ b ^2 =2 m E $



(ID 11477)

El eje mayor de la elipse del oscilador arm nico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$ igual a

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$


(ID 11478)

El eje menor de la elipse del oscilador arm nico en el espacio de fase es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



es igual con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$ a

$ b ^2 =2 m E $

(ID 11479)

La energ a de un oscilador arm nico con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$ es

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $



lo que se representa como la elipse que muestra la gr fica:


(ID 11467)

Probability only makes sense insofar as it refers to a range since otherwise it would be null. In the case of the harmonic oscillator, the range in which we seek to study is that of energy, that is, the energy of the system is between E and E+dE. If it is represented in the phase space, there is a range:


(ID 11468)

Area of an ellipse

$ S = \pi a b $

(ID 4446)

The area of an ellipse with

$ S = \pi a b $



whose major axis is

$ a ^2 =\displaystyle\frac{ 2 E }{ k }$



and whose minor axis is

$ b ^2 =2 m E $



is calculated using

$ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$


(ID 11480)

Using the area of the phase space ellipse for the harmonic oscillator with acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$ and masa de la partícula $kg$

$ S = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }}$



the phase space area is obtained by subtracting the area at energy $E+dE$ from the area at energy $E$:

$2 \pi (E + dE)\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} - 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}} = 2 \pi E \sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}$



Thus, with acción $J s$, constante del resorte $N/m$, energía del sistema $J$ and masa de la partícula $kg$:

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $


(ID 11482)

The probability of finding the particle in a position between q and q+dq corresponds to estimating the states in this range with respect to all the states for which the energy is between E and E+dE:


(ID 11469)

Con el rea de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$ and masa de la partícula $kg$

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $



y la ecuaci n de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $

\\n\\nse puede calcular la altura del segmento dq\\n\\n

$dp =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 m E - k m q^2} dE =\displaystyle\frac{m}{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE $



con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ P(q) dq = \displaystyle\frac{ dq }{\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }- q ^2}}$

(ID 11481)

The probability of finding the particle with a memento between p and p+dp corresponds to estimating the states in this range with respect to all the states for which the energy is between E and E+dE:


(ID 11470)

Con el rea de la capa con constante del resorte $N/m$, elemento de energía $J$, elemento de superficie de acción $J s$ and masa de la partícula $kg$

$ dS = 2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m }{ k }} dE $



y la ecuaci n de la elipse con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ \displaystyle\frac{ p ^2}{ 2 m E }+\displaystyle\frac{ q ^2}{ 2 E / k }=1 $

\\n\\nse puede calcular la altura del segmento dq\\n\\n

$dq =\displaystyle\frac{\partial}{\partial E}\sqrt{2 E / k - p ^2/ m k } dE=\displaystyle\frac{ m }{\sqrt{2 m E - m k q ^2}} dE$



con lo que la probabilidad es con constante del resorte $N/m$, entropia del sistema $J/K$, masa de la partícula $kg$, momento de la partícula $kg m/s$ and posición $m$

$ P(p) dp = \displaystyle\frac{ dp }{\sqrt{2 m E - p ^2}}$



(ID 11483)

ID:(1558, 0)