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Ejemplo de aplicación del método
Descripción
Si consideramos la energía interna $U(V,S)$, esta depende de dos variables:
• El volumen $V$
• La entropía $S$
Por lo tanto, su variación puede ser expresada utilizando la relación:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
en la forma:
$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$
De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, sabemos que la variación de la energía interna $dU$ es igual a:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
De esta manera, podemos concluir que las pendientes son la presión $p$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$
y la temperatura $T$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$
ID:(12389, 0)
Ejemplo de potencial termodinámico
Descripción
Para encontrar las relaciones, se introducen los llamados potenciales termodinámicos, que son energías potenciales que incluyen o excluyen ciertas formas de energía en un sistema, como la energía asociada al trabajo $pV$ y la energía asociada a la entropía $TS$, que no puede ser utilizada para realizar trabajo.
En el caso de la entalpía $H$, esta corresponde a la energía interna del sistema, que incluye el movimiento de las partículas, pero también incorpora la energía necesaria para formar el sistema, es decir, el trabajo $pV$ realizado para establecerlo. Por lo tanto, se define como:
| $$ |
ID:(12390, 0)
Forma de trabajar en termodinámica
Descripción
Variables
Cálculos
a 
,
luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Variable
Dado
Calcule
Objetivo :
Ecuación
A utilizar
Ecuaciones
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
con su variaci n
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
se puede concluir que
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
(ID 12394)
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
con su variaci n
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
se puede concluir que
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
(ID 12395)
Si comparamos la diferenciaci n de la entalp a
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
con su variaci n
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
se puede concluir que
| $ \mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$ |
(ID 12396)
La tasa de lapso adiab tico, dada por
| $ \Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$ |
se puede expresar en funci n de la entalp a utilizando la relaci n
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
y la relaci n
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
como
$\Gamma =\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial p}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial \alpha}{\partial s}$
por lo tanto, la tasa de lapso adiab tico es
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
(ID 12398)
Como la capacidad calor fica a presi n constante se define a trav s de la entalp a como
$c_p=\left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial T }\right)_{ p , i }$
se tiene que
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
lo cual implica que
$c_p=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}=T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}$
por lo tanto, se tiene la relaci n
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
(ID 12399)
Con la tasa de lapso adiab tico dado por
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
se tiene que
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
que la tasa de lapso adiabatico se puede escribir como
$\Gamma=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial s }=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }\displaystyle\frac{\partial T }{\partial s }=\displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }$
se tiene que
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
(ID 12400)
Con la definici n del volumen espec fico
| $ \alpha = \displaystyle\frac{1}{ \rho }$ |
y la relaci n para la expansi n t rmica dada por
| $ k_T =\displaystyle\frac{1}{ \alpha_T }\left(\displaystyle\frac{ \partial\alpha_T }{ \partial T }\right)_{ p , i }$ |
la derivada del volumen espec fico en funci n de la tasa de lapso adiab tico, expresada como
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
puede ser expresada como
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$ |
(ID 12401)
Ejemplos
La termodin mica es la ciencia de los 'peque os pasos', donde se explora el comportamiento de un sistema f sico realizando variaciones en las funciones conocidas. Para ello:
- Se determina de qu par metros (por ejemplo, $x$ y $y$) depende una funci n, es decir, $f(x,y)$.
- Se var a cada uno de estos par metros (por ejemplo, $dx$ y $dy$) e identifica la correspondiente pendiente de la variaci n.
- Se busca encontrar la relaci n entre la pendiente y las relaciones ya encontradas dentro de la termodin mica.
Matem ticamente, esto se expresa como :
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
La expresi n
$D_{x,y}f\equiv\left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y$
corresponde a la pendiente en la direcci n x sin variar las dem s variables (en este caso, y). Se lee como 'derivada parcial de f respecto a x, manteniendo y constante'.
(ID 12388)
Para el c lculo de los distintos par metros, es necesario ser capaz de derivar el potencial de Gibbs, lo cual implica analizar las pendientes de dicha funci n en t rminos de presi n o temperatura.
En general, los factores del potencial de Gibbs se definen como $g_x$, donde $x$ representa la variable y $g$ representa la energ a libre molar de Gibbs, de la siguiente manera:
| $ g_x =\displaystyle\frac{\partial g }{\partial x }$ |
(ID 12356)
Para el c lculo de varios par metros, es necesario poder derivar el potencial de Gibbs en segundo orden, lo que implica considerar las curvaturas de dicha funci n en t rminos de la presi n y/o temperatura.
En general, los factores del potencial de Gibbs se definen de la siguiente manera:
| $ g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$ |
(ID 12357)
Si consideramos la energ a interna $U(V,S)$, esta depende de dos variables:
• El volumen $V$
• La entrop a $S$
Por lo tanto, su variaci n puede ser expresada utilizando la relaci n:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
en la forma:
$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$
De acuerdo con la primera ley de la termodin mica, sabemos que la variaci n de la energ a interna $dU$ es igual a:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
De esta manera, podemos concluir que las pendientes son la presi n $p$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$
y la temperatura $T$:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$
(ID 12389)
Para encontrar las relaciones, se introducen los llamados potenciales termodin micos, que son energ as potenciales que incluyen o excluyen ciertas formas de energ a en un sistema, como la energ a asociada al trabajo $pV$ y la energ a asociada a la entrop a $TS$, que no puede ser utilizada para realizar trabajo.
En el caso de la entalp a $H$, esta corresponde a la energ a interna del sistema, que incluye el movimiento de las part culas, pero tambi n incorpora la energ a necesaria para formar el sistema, es decir, el trabajo $pV$ realizado para establecerlo. Por lo tanto, se define como:
| $$ |
(ID 12390)
Adem s del potencial termodin mico propiamente dicho, se puede definir su versi n molar simplemente dividiendo su magnitud por la masa molar. En el caso de la entalp a $H$, esto se define como
| $ h = \displaystyle\frac{ H }{ M_{mol} }$ |
donde $M_m$ es la masa molar.
(ID 12391)
La entalp a depende de la presi n $p$, la entrop a $h$ y, en nuestro caso, tambi n de la concentraci n de sal $i$. Por lo tanto, las respectivas diferencias $dh$, $dp$ y $di$ deben cumplir:
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
(ID 12392)
Se ha determinado que la entalp a molar $h$ var a en funci n de la entrop a molar $s$, presi n $p$ y salinidad $i$ de la siguiente manera:
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
(ID 12393)
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la temperatura $T$:
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
(ID 12394)
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la presi n $p$:
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
(ID 12395)
La pendiente de la entalp a molar $h$ con respecto a la entrop a es igual a la salinidad $s$:
| $ \mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$ |
(ID 12396)
La estabilidad del agua marina se caracteriza mediante la llamada tasa de lapso adiab tico, que se relaciona directamente con el problema de los gradientes de temperatura y salinidad que pueden desestabilizar la columna de agua marina.
La tasa de lapso adiab tico se define como:
| $ \Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$ |
(ID 12397)
La tasa de lapso adiab tico se puede calcular utilizando el volumen efectivo $\alpha$ y el calor espec fico a presi n constante $c_p$ de la siguiente manera:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
(ID 12398)
La entrop a molar var a con la temperatura de acuerdo a la siguiente relaci n:
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
(ID 12399)
La tasa de lapso adiab tico se puede calcular mediante la siguiente ecuaci n:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
donde $T$ es la temperatura, $c_p$ es el calor espec fico a presi n constante y $\partial\alpha/\partial T$ es la variaci n del volumen relativo con respecto a la temperatura.
(ID 12400)
La tasa de variaci n adiab tica se puede calcular utilizando la temperatura $T$, el calor espec fico a presi n constante $c_p$, la dilataci n t rmica $k_T$ y la densidad $\rho$, de la siguiente manera:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$ |
(ID 12401)
ID:(1650, 0)