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Ejemplos de potenciales eléctricos
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Con los ejemplos de los campos eléctricos calculados anteriormente se calculan los potenciales eléctricos.
ID:(1562, 0)
Esfera conductora con carga
Descripción
En una esfera conductor con cargas, estas se distribuyen en la superficie y con ello el campo en su interior es nulo. En el exterior se comporta como una carga puntual que esta en el centro de la esfera:
ID:(11451, 0)
Esfera aislante con carga homogénea
Descripción
Una esfera aislante en que se ha distribuido homogéneamente cargas, que no se pueden mover por ser un material aislante, tiene un campo eléctrico que crece linealmente en el interior y decrece con el inverso del radio al cuadrado:
ID:(11450, 0)
Alambre o cilindro infinito con carga, en el vacío
Descripción
En una alambre o cilindro conductor con cargas, estas se distribuyen a lo largo del objeto comportándose como una larga cadena de cargas puntuales alineadas en el eje:
ID:(11452, 0)
Plano conductor infinito con carga
Descripción
En un plano conductor, es posible definir una superficie gaussiana en forma de cilindro. Dado que las paredes laterales son ortogonales al campo eléctrico, no contribuyen al flujo neto. Por lo tanto, las únicas partes que contribuyen son las tapas del cilindro, que son superficies paralelas al plano:
ID:(11453, 0)
Modelo simple para dos placas con cargas opuestas
Descripción
Para poder calcular en forma simple el campo entre las dos placas se puede asumir que el campo externo se compensa y que la mayor parte es solo entre las placas:
ID:(11455, 0)
Ejemplos de potenciales eléctricos
Descripción
Con los ejemplos de los campos eléctricos calculados anteriormente se calculan los potenciales eléctricos.
Variables
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Cálculos
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Ecuaciones
El potencial eléctrico, carga puntual ($\varphi_p$) se calcula a partir de la integraci n radial de el campo eléctrico de una carga puntual ($E_p$) desde el radio ($r$) hasta el infinito, lo que resulta en
| $ \varphi_p = -\displaystyle\int_r^{\infty} du\,E_p$ |
Por otro lado, para la carga ($Q$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), el valor de el campo eléctrico de una carga puntual ($E_p$) es
| $ E_p =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{Q}{ r ^2}$ |
Esto implica que al integrar
$\varphi_p = -\displaystyle\int_{r}^{\infty} du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{1}{ r }$
se obtiene
| $ \varphi_p = -\displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{1}{ r } $ |
(ID 11576)
Como la diferencia de potencial es el potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) con el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) y el radio ($r$), obtenemos:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\int_0^ r du\, E_i $ |
Dado que el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), el radio de la esfera ($R$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
en coordenadas esf ricas tenemos:
$\varphi_i = -\displaystyle\int_0^{r} du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$
Por lo tanto, el potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) con la distancia entre cargas ($r$) resulta en:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
Como la diferencia de potencial es el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) con el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$), el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$), el radio de la esfera ($R$) y el radio ($r$), obtenemos:
| $ \varphi_e = - \displaystyle\int_0^ R du\, E_i - \displaystyle\int_ R ^ r du\, E_e $ |
Dado que el campo eléctrico, esfera, exterior ($E_e$) con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:
| $ E_e=\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2 }$ |
y que el campo eléctrico, esfera, interior ($E_i$) con el radio interno ($r_i$) es igual a:
| $ E_i =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q r }{ R ^3 }$ |
en coordenadas esf ricas tenemos:
$\varphi_e = -\displaystyle\int_0^R du \displaystyle\frac{ Q u }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon R ^3 } -\displaystyle\int_R^r du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r }$
Por lo tanto, el potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) resulta en:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
(ID 11584)
El potencial eléctrico, cilindro conductor infinito ($\varphi_c$) se obtiene a trav s de la integraci n radial de el campo eléctrico, cilindro conductor infinito ($E_c$), desde el radio del cilindro ($r_0$) hasta la distancia al eje ($r$), resultando en la siguiente ecuaci n:
| $ \varphi_c = -\displaystyle\int_{r_0}^r du E_c$ |
Adem s, para las variables la carga ($Q$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), el valor de el campo eléctrico, cilindro conductor infinito ($E_c$) se expresa como:
| $ E_c =\displaystyle\frac{1}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ \lambda }{ r }$ |
Esto implica que al realizar la integraci n
$\varphi_c = -\displaystyle\int_{r_0}^r du \displaystyle\frac{ \lambda }{ 2 \pi \epsilon_0 \epsilon u }= -\displaystyle\frac{ \lambda }{ 2 \pi \epsilon_0 \epsilon } \ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)$
se obtiene la siguiente ecuaci n:
| $ \varphi_c = -\displaystyle\frac{ \lambda }{ 2 \pi \epsilon_0 \epsilon }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)$ |
(ID 11585)
En el caso de una placa infinita, la relaci n entre el potencial eléctrico, placa infinita ($\varphi_s$), el campo eléctrico de una placa infinita ($E_s$) y la posición en el eje z ($z$) se establece mediante la siguiente ecuaci n:
| $ \varphi_s = -\displaystyle\int_0^z du\,E_s$ |
Asimismo, la relaci n que involucra a el campo eléctrico de una placa infinita ($E_s$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la densidad de carga por área ($\sigma$) se define como:
| $ E_s =\displaystyle\frac{ \sigma }{ 2 \epsilon_0 \epsilon }$ |
En coordenadas esf ricas, esta se expresa como:
$\varphi_s = -\displaystyle\int_0^z du \displaystyle\frac{ \sigma }{2 \epsilon_0 \epsilon }= -\displaystyle\frac{ \sigma }{2 \epsilon_0 \epsilon } z$
Finalmente, la relaci n que incluye a el potencial eléctrico, placa infinita ($\varphi_s$) y la posición en el eje z ($z$) se determina por la siguiente ecuaci n:
| $ \varphi_s = -\displaystyle\frac{ \sigma }{2 \epsilon_0 \epsilon } z $ |
(ID 11586)
El potencial eléctrico, dos placas infinitas ($\varphi_d$) en relaci n con el campo eléctrico, dos placas infinitas ($E_d$) y la posición en el eje z ($z$) se expresa como:
| $ \varphi_d = -\displaystyle\int_0^z du\,E_d$ |
De manera similar, el campo eléctrico, dos placas infinitas ($E_d$) en relaci n con la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la densidad de carga por área ($\sigma$) se define como:
| $ E_d =\displaystyle\frac{ \sigma }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Integrando desde el origen, obtenemos:
$\varphi_d = -\displaystyle\int_0^z du \displaystyle\frac{ \sigma }{ \epsilon_0 \epsilon }= -\displaystyle\frac{ \sigma }{ \epsilon_0 \epsilon } z$
Por lo tanto, el potencial eléctrico, dos placas infinitas ($\varphi_d$) resulta en:
| $ \varphi_d = -\displaystyle\frac{ \sigma }{ \epsilon_0 \epsilon } z $ |
(ID 11587)
Ejemplos
Los potenciales el ctricos, que representan la energ a potencial por unidad de carga, influyen en c mo var a la velocidad de una part cula. Por consiguiente, la conservaci n de la energ a entre dos puntos implica que, en presencia de las variables la carga ($q$), la masa de la partícula ($m$), la velocidad 1 ($v_1$), la velocidad 2 ($v_2$), el potencial eléctrico 1 ($\varphi_1$) y el potencial eléctrico 2 ($\varphi_2$), se debe cumplir la siguiente relaci n:
| $ \displaystyle\frac{1}{2} m v_1 ^2 + q \varphi_1 = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2 ^2 + q \varphi_2 $ |
(ID 11596)
En una esfera conductor con cargas, estas se distribuyen en la superficie y con ello el campo en su interior es nulo. En el exterior se comporta como una carga puntual que esta en el centro de la esfera:
(ID 11451)
El potencial eléctrico, carga puntual ($\varphi_p$) es con la carga ($Q$), la distancia entre cargas ($r$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) igual a:
| $ \varphi_p = -\displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{1}{ r } $ |
(ID 11576)
Como la diferencia de potencial con es igual
| $ \varphi_f = -\displaystyle\int_r^{\infty} du\,E_f(u)$ |
con
| $ E_f =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{Q}{ r ^2}\theta( r - R )$ |
lo que en coordenadas esf ricas es
$\varphi_f = -\displaystyle\int_{\infty}^{r} du \displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon u ^2 }= -\displaystyle\frac{ Q }{ 4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{1}{ r }$
o sea con
| $ \varphi_f = -\displaystyle\frac{ Q }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{1}{ r } $ |
(ID 11582)
Una esfera aislante en que se ha distribuido homog neamente cargas, que no se pueden mover por ser un material aislante, tiene un campo el ctrico que crece linealmente en el interior y decrece con el inverso del radio al cuadrado:
(ID 11450)
El potencial eléctrico, esfera aislante, interior ($\varphi_i$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), la distancia entre cargas ($r$) y el radio de la esfera ($R$) es igual a:
| $ \varphi_i = -\displaystyle\frac{ Q }{8 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ r ^2 }{ R ^3 }$ |
(ID 11583)
El potencial eléctrico, esfera, exterior ($\varphi_e$) es con el pi ($\pi$), la carga ($Q$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$) y la distancia entre cargas ($r$) es igual a:
| $ \varphi_e = -\displaystyle\frac{ 1 }{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r } $ |
(ID 11584)
En una alambre o cilindro conductor con cargas, estas se distribuyen a lo largo del objeto comport ndose como una larga cadena de cargas puntuales alineadas en el eje:
(ID 11452)
El potencial eléctrico, cilindro conductor infinito ($\varphi_c$) es con el pi ($\pi$), la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), la densidad lineal de carga ($\lambda$), la distancia al eje ($r$) y el radio del cilindro ($r_0$) es igual a:
| $ \varphi_c = -\displaystyle\frac{ \lambda }{ 2 \pi \epsilon_0 \epsilon }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)$ |
(ID 11585)
En un plano conductor, es posible definir una superficie gaussiana en forma de cilindro. Dado que las paredes laterales son ortogonales al campo el ctrico, no contribuyen al flujo neto. Por lo tanto, las nicas partes que contribuyen son las tapas del cilindro, que son superficies paralelas al plano:
(ID 11453)
El potencial eléctrico, placa infinita ($\varphi_s$) es con la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), la densidad de carga por área ($\sigma$) y la posición en el eje z ($z$) es igual a:
| $ \varphi_s = -\displaystyle\frac{ \sigma }{2 \epsilon_0 \epsilon } z $ |
(ID 11586)
Para poder calcular en forma simple el campo entre las dos placas se puede asumir que el campo externo se compensa y que la mayor parte es solo entre las placas:
(ID 11455)
El potencial eléctrico, dos placas infinitas ($\varphi_d$) es con la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$), la constante dieléctrica ($\epsilon$), la densidad de carga por área ($\sigma$) y la posición en el eje z ($z$) es igual a:
| $ \varphi_d = -\displaystyle\frac{ \sigma }{ \epsilon_0 \epsilon } z $ |
(ID 11587)
ID:(1562, 0)